中考复习方案2016中考数学-专题突破八-代数综合-作业手册

专题突破(八)代数综合方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容，在北京中考试卷中，2015年代数综合题出现在第27题，分值为7分．代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点，用到的数学思想、方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等．2011－2015年北京代数综合题考点对比年份20112012201320142015考点根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式、二次函数和一次函数图象的平移、利用函数图象求取值范围二次函数的性质、一次函数图象如何变换、二次函数图象上点的坐标特征确定二次函数解析式、二次函数图象的性质、利用图象求取值范围求交点坐标、对称点坐标、确定二次函数解析式及顶点坐标，利用图象求取值范围1．[2015·北京]在平面直角坐标系xOy中，过点(0，2)且平行于x轴的直线与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B.(1)求点A，B的坐标；(2)求抛物线C1的函数解析式及顶点坐标；(3)若抛物线C2：y＝ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象求a的取值范围．2．[2014·北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2＋mx＋n经过点A(0，－2)，B(3，4)．(1)求抛物线的函数解析式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上的一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．3．[2013·北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A，B的坐标；(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的函数解析式；(3)若该抛物线在－2x－1这一段位于直线l的上方，并且在2x3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的函数解析式．4．[2012·北京]已知二次函数y＝(t＋1)x2＋2(t＋2)x＋32在x＝0和x＝2时的函数值相等．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A(－3，m)，求m和k的值；(3)设二次函数的图象与x轴交于点B，C(点B在点C的左侧)，将二次函数的图象在点B，C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n＞0)个单位长度后得到的图象记为G，同时将(2)中得到的直线y＝kx＋6向上平移n个单位长度．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．图Z8－15．[2011·北京]在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋()m－3x－3()m0的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当∠ABC＝45°时，求m的值；(3)已知一次函数y＝kx＋b，点P()n，0是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2＋()m－3x－3()m0的图象于点N.若只有当－2n2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．图Z8－21．[2015·海淀一模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝12x2－x＋2与y轴交于点A，顶点为B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．(1)求直线BC的函数解析式；(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为4.将抛物线在点A，D之间的部分(包含点A，D)记为图象G，若图象G向下平移t(t0)个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．图Z8－32．[2015·朝阳一模]如图Z8－4，将抛物线M1：y＝ax2＋4x向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线M2，直线y＝x与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是－3.(1)求a的值及M2的函数解析式．(2)点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF.①当点C的横坐标为2时，直线y＝x＋n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；②在点C的运动过程中，若直线y＝x＋n与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围(直接写出结果)．图Z8－43．[2015·西城一模]已知二次函数y1＝x2＋bx＋c的图象C1经过(－1，0)，(0，－3)两点．(1)求C1对应的函数解析式；(2)将C1先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线C2，将C2对应的函数解析式记为y2＝x2＋mx＋n，求C2对应的函数解析式；(3)设y3＝2x＋3，在(2)的条件下，如果在－2≤x≤a内存在．．某一个x的值，使得y2≤y3成立，利用函数图象直接写出a的取值范围．图Z8－54．[2015·东城一模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋1()a≠0过点A()－1，0，B()1，1，与y轴交于点C.(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋1()a≠0的函数解析式．(2)若点D在抛物线y＝ax2＋bx＋1()a≠0的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标．(3)在抛物线y＝ax2＋bx＋1()a≠0的对称轴上是否存在点P，使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z8－65．[2015·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－3(m≠0)与x轴交于A(3，0)，B两点．(1)求抛物线的函数解析式及点B的坐标；(2)将－2x3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M.若经过点C(4，2)的直线y＝kx＋b(k≠0)与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．6．[2015·通州一模]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一次函数y1＝x＋k的图象交于A(0，1)，B两点，C(1，0)为二次函数图象的顶点．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式；(2)在平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和一次函数y1＝x＋k的图象；(3)把(1)中的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象平移后得到新的二次函数y2＝ax2＋bx＋c＋m(a≠0，m为常数)的图象，定义新函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，如果y1≠y2，函数f的函数值等于y1，y2中的较小值；如果y1＝y2，函数f的函数值等于y1(或y2)．”当新函数f的图象与x轴有三个交点时，直接写出m的取值范围．7．[2015·海淀二模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m＋4与y轴交于点A(0，3)，与x轴交于点B，C(点B在点C左侧)．(1)求该抛物线的函数解析式及点B，C的坐标；(2)抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx＋b经过点D和点E(－1，－2)，求直线DE的函数解析式；(3)在(2)的条件下，已知点P(t，0)，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．图Z8－78．[2014·海淀期中]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－(m－1)x－m(m0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当S△ABC＝15时，求该抛物线的函数解析式；(3)在(2)的条件下，经过点C的直线l：y＝kx＋b(k0)与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于－8，求k的取值范围．图Z8－89．[2015·平谷一模]已知抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(2，0)两点，与y轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点．(1)求该抛物线的函数解析式及点D的坐标；(2)点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为22时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO＋∠EPO＝∠α，当tanα＝2时，求点P的坐标．图Z8－910．[2015·怀柔一模]在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝(a－1)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，a为正整数．(1)求a的值；(2)将二次函数y＝(a－1)x2＋2x＋1的图象向右平移m个单位长度，再向下平移(m2＋1)个单位长度，当－2≤x≤1时，二次函数有最小值－3，求实数m的值．图Z8－10参考答案北京真题体验1.解：(1)当y＝2时，2＝x－1，x＝3.∴A(3，2)．∵点A，B关于直线x＝1对称，∴B(－1，2)．(2)把(3，2)，(－1，2)代入y＝x2＋bx＋c，得2＝9＋3b＋c，2＝1－b＋c，解得b＝－2，c＝－1.∴抛物线C1的解析式为y＝x2－2x－1，顶点坐标为(1，－2)．(3)如图，当C2过点A，点B时为临界状态，将A(3，2)代入y＝ax2，则9a＝2，a＝29，将B(－1，2)代入y＝ax2，则a＝2，∴29≤a＜2.2．解：(1)∵y＝2x2＋mx＋n经过点A(0，－2)，B(3，4)，∴n＝－2，18＋3m＋n＝4，解得m＝－4，n＝－2.∴抛物线的函数解析式为y＝2x2－4x－2.∴对称轴为直线x＝1.(2)由题意可知C(－3，－4)．二次函数y＝2x2－4x－2的最小值为－4.如图，由图象可以看出点D纵坐标的最小值即为－4，最大值为直线BC与抛物线对称轴的交点的纵坐标．由B(3，4)，C(－3，－4)可知直线BC的函数解析式为y＝43x.当x＝1时，y＝43.∴－4≤t≤43.3．解：(1)当x＝0时，y＝－2，∴A(0，－2)，抛物线的对称轴为直线x＝－－2m2m＝1，∴B(1，0)．(2)易得点A关于对称轴直线x＝1的对称点为A′(2，－2)，点B关于对称轴对称的点仍为点B，∴直线l经过点A′，B.设直线l的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．则2k＋b＝－2，k＋b＝0，解得k＝－2，b＝2，故直线l的函数解析式为y＝－2x＋2.(3)∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线在2＜x＜3这一段与在－1＜x＜0这一段关于对称轴对称．如图，结合图象可以观察到抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方，∴抛物线与直线l的交点的横坐标为－1.当x＝－1时，y＝－2×(－1)＋2＝4，∴抛物线与直线l的一个交点为(－1，4)．当x＝－1时，m＋2m－2＝4，解得m＝2，∴抛物线的函数解析式为y＝2x2－4x－2.4．解：(1)∵二次函数y＝(t＋1)x2＋2(t＋2)x＋32在x＝0和x＝2时的函数值相等，∴0＋0＋32＝4(t＋1)＋4(t＋2)＋32，解得t＝－32，∴二次函数的解析式是y＝－12x2＋x＋32.(2)把A(－3，m)代入y＝－12x2＋x＋32得m＝－12×(－3)2－3＋32＝－6，即A(－3，－6)．将A(－3，－6)代入y＝kx＋6，得－6＝－3k＋6，解得k＝4，故m＝－6，k＝4.(3)由题意可知，点B，C间的部分图象的函数解析式是y＝－12(x－3)(x＋1)(－1≤x≤3)，则抛物线平移后得到图象G的函数解析式是y＝－12(x－3＋n)(x＋1＋n)(－n－1≤x≤3－n)，此时直线平移后的解析式是y＝4x＋6＋n.如果平移后的直线与平移后的二次函数图象相切，则方程4x＋6＋n＝－12(x－3＋n)(x＋1＋n)有两个相等的实数解，即－12x2－(n＋3)x－12n2－92＝0有两个相等的实数解，Δ＝[－(n＋3)]2－4×(－12)×(－12n2－92)＝6n＝0，解得n＝0.∵与已知n＞0相矛盾，∴平移后的直线与平移后的抛物线不相