全国名校真题模拟专题训练2-函数解答题(数学)

全国名校真题模拟专题训练02函数三、解答题1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知函数1010()2xxyxR（1）求反函数1()yfx（2）判断1()yfx是奇函数还是偶函数并证明。解：（1）令10xt则0t2222101101xtyttyyyy∴21(1)()lg()xxfxxR（2）12()lg(1)fxxx22(1)11lg1lg()xxxxfx1()fx为奇函数2、(江苏省启东中学高三综合测试二).)(53)(值小在给定区间上的最大求函数xxxf解：设xt,则),0t(5t3t)t(fy2f(t)的顶点横坐标为23,属于),0[,故f(t)在23,0上是减函数,在),23[为增函数,所以最小值在23达到,为411,当49x时达到最小值411,该函数没有最大值3、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)求函数)6lg(5)(2xxxf的定义域：解：由题意得05x062x566xx且062x4、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数2lg)2lg()(2xxxf(1)判断函数)(xf的奇偶性。(2)判断函数)(xf的单调性。解：（1）2lg22lg2lg)2lg()(22xxxxxf=)()2lg(2lg2xfxx∴)(xf为奇函数（2）)(xf是R上的增函数，（证明略）5、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数)(xf=)0(abaxx的图像过点(-4，4)，且关于直线xy成轴对称图形，试确定)(xf的解析式.解：由题意得14444baba即………①又1axbxybayyxbaxxy∴b=1代入①得21a，∴22)(xxxf6、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD上规划出一块长方形地面建造公园，公园一边落在CD上，但不得越过文物保护区AEF的EF.问如何设计才能使公园占地面积最大，并求这最大面积.（其中AB=200m，BC=160m，AE=60m，AF=40m.）解：设CG=X，矩形CGPH面积为Y，如图328026014040XENxEN∴HC=1603276032802xx∴2276061)2760(26132760xxxxy372200当19027602xxx（m）即CG长为190m时，最大面积为372200（m2）7、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)1，求x的取值范围。解：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴)x(f1)x(f由已知x0时，f(x)10，当x0时，-x0，f(-x)0∴0)x(f1)x(f又x=0时，f(0)=10∴对任意x∈R，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10∴1)xx(f)x(f)x(f)x(f)x(f121212∴f(x2)f(x1)∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)f(0)得：x-x20∴0x38、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知二次函数),(2)(2Rcbcbxxxf满足0)1(f，且关于x的方程0)(bxxf的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。（1）求实数b的取值范围；（2）若函数)(log)(xfxFb在区间（-1-c，1-c）上具有单调性，求实数C的取值范围解：（1）由题意知021)1(cbf，∴bc21记1)12()12()()(22bxbxcbxbxbxxfxg则075)3(bg051)2(bg7551b01)0(bg01)1(bg即)75,51(b（2）令u=)(xf。∵175510b∴ublog在（0，＋∞）是减函数而bxcbxxxfbbc的对称轴为函数2)(,212∴)1,1)(ccxf在区间（上为增函数，从而)1,1()(log)(ccxfxFb在上为减函数。且)1,1)(ccxf在区间（上恒有)(xf0,只需0)1(cf，且2717)7551(12cbbc所以9、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）（3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（Ⅰ）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；（Ⅱ）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．解：（1）依题得：2*(1)501249824098.()2xxyxxxxxN……3分（2）解不等式2240980,:10511051xxx得*,317,3xNx故从第年开始盈利。……6分（3）（Ⅰ）989824040(2)40229812yxxxxx当且仅当982xx时，即x=7时等号成立．到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元．……10分（Ⅱ）2224098(10)102,10102yxxxmax当x＝时，y故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元……11分盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理．10、(四川省成都市一诊)已知函数()yfx是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的[0,)mn、，都有()[()]nfmnfm，且(2)4f，又当0x时，其导函数'()0fx恒成立。（Ⅰ）求(0)(1)Ff、的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：222()224kxfx，其中(1,1).k解：(1)由f(m·n)＝[f(m)]n得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]0∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1……3分∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2……3分(2)22222222222211242444kxkxkxkxffffffxxxx又当0x时，其导函数'0fx恒成立，∴yfx在区间0,上为单调递增函数∴222221241404kxkxxkxkxx①当0k时，0x；②当10k时，22440011kkxxxkk，∴24,01kxk；③当01k时，22440011kkxxxkk，∴240,1kxk综上所述：当0k时，0x；当10k时，24,01kxk；当01k时，240,1kxk。11、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大，表示接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43(0＜x≤10)59(10＜x≤16)－3x＋107(16＜x≤30)(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解：(1)当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9故f(x)在0＜x≤10时递增，最大值为f(10)＝－0.1(10－13)2＋59.9＝59当10＜x≤16时，f(x)≡59当x＞16时，f(x)为减函数，且f(x)＜59因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力(为59)，能维持6分钟时间.…………5分(2)f(5)＝－0.1(5－13)2＋59.9＝53.5f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.……………………………8分(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，解得x＝6或20(舍)当x＞16时，令f(x)＝55，解得x＝1713因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113＜13(分)老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题.12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知函数)(xf满足下列条件：①函数)(xf的定义域为[0，1]；②对于任意且,0)(],1,0[xfx1)1(,0)0(ff；③对于满足条件1,0,02121xxxx的任意两个数).()()(,,212121xfxfxxfxx有（1）证明：对于任意的)()(,10yfxfyx有；（2）证明：于任意的xxfx2)(,10有；（3）不等式xxf9.1)(对于一切x∈[0，1]都成立吗？试说明理由.（1）证明：对于任意的,10yx),()()()()(0)(,10xfxfxyfxxyfyfxyfxy所以可得则即对于任意的).()(,10yfxfyx有……………………………………5分（2）证明：由已知条件可得).(2)()()2(xfxfxfxf.)(21,21,2)(,1,0.2)(,0,020)0(,0*10000上一定在某个区间则使得假设存在时即当时当Nkxxxfxxxfxfxkk.2)(,1,0,.12)2(,1)1()2(,12,1221,21,21.2)2(,,8)4(,4)2(.1,02,,4,2,21,2100000101001100010000010010xxfxxxffxfxxxxxfxxfxxfxxxxkkkkkkkkkkkk使得因此不存在从而得到矛盾又所以且可知由则内均在区间则设所以对于任意的.2)(,10xxfx有…………………………………………10分（3）解：取函数.121,1,210,0)(xxxf则)(xf显然满足题目中的（