导数综合题集锦2

第1页共22页By北辰陨天导数综合题21、已知二次函数()fxxx2，若不等式xxfxf2)()(的解集为C.（1）求集合C；（2）若方程5)(1xxaaf)1,0(aa在C上有解，求实数a的取值范围；（3）记)(xf在C上的值域为A，若]1,0[,23)(3xttxxxg的值域为B，且BA，求实数t的取值范围．2、设函数32()24fxaxbxcxd（,,,abcdR）的图象关于原点对称，且1x时，f(x)取极小值13，①求,,,abcd的值；②当1,1x时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论。③若12,1,1xx，求证：124()()3fxfx。3、已知函数),2()(31)(,2)1(31)(23在区间且xfkxxgxkxxf上为增函数.（1）求k的取值范围；（2）若函数)()(xgxf与的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.4、已知函数）（）（023acxbxaxxf是定义在R上的奇函数，且1x时，函数取极值1．(1)求cba，，的值；(2)若1121，，xx，求证：221）（）（xfxf；(3)求证：曲线)(xfy上不存在两个不同的点BA，，使过BA，两点的切线都垂直于直线AB．5.已知函数)0()(,ln)(axaxgxxf，设)()()(xgxfxF。（Ⅰ）求F（x）的单调区间；（Ⅱ）若以)3,0)((xxFy图象上任意一点),(00yxP为切点的切线的斜率21k恒成立，求实数a的最小值。（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数1)12(2mxagy的图象与)1(2xfy的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说名理由。6.定义),0(,,)1(),(yxxyxFy，（1）令函数))94(log,1()(22xxFxf的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A第2页共22页By北辰陨天（0，m），过坐标原点O作曲线C1的切线，切点为B（n,t）（n0），设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值。（2）当);,(),(,*,xyFyxFyxNyx证明时且（3）令函数))1(log,1()(232bxaxxFxg的图象为曲线C2，若存在实数b使得曲线C2在)14(00xx处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围。7.（1）求证：当1a时，不等式2(1)2xnaxeex对于nR恒成立.（2）对于在（0,1）中的任一个常数a，问是否存在00x使得0020012xxaxeex成立？如果存在，求出符合条件的一个0x；否则说明理由。8.把函数2lnxy的图象按向量)2,1(a平移得到函数)(xf的图象。（1）若0x证明：22)(xxxf。（2）若不等式32)(21222bmmxfx对于]1,1[x及]1,1[b恒成立，求实数m的取值范围。9.已知函数||1yx，222yxxt，11()2tyxx(0)x的最小值恰好是方程320xaxbxc的三个根，其中01t．（1）求证：223ab；（2）设1(,)xM，2(,)xN是函数32()fxxaxbxc的两个极值点．①若122||3xx，求函数()fx的解析式；②求||MN的取值范围．10.已知函数bxaxxf2)(，在1x处取得极值为2。（Ⅰ）求函数)(xf的解析式；（Ⅱ）若函数)(xf在区间（m，2m＋1）上为增函数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若P（x0，y0）为bxaxxf2)(图象上的任意一点，直线l与bxaxxf2)(的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围.11.已知：在函数xmxxf3)(的图象上，以),1(nN为切点的切线的倾斜角为4．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式1993)(kxf对于]3,1[x恒成第3页共22页By北辰陨天立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：)21(2|)(cos)(sin|ttfxfxf（Rx，0t）．12.设M是由满足下列条件的函数)(xf构成的集合：“①方程)(xf0x有实数根；②函数)(xf的导数)(xf满足1)(0xf.”（I）判断函数4sin2)(xxxf是否是集合M中的元素，并说明理由；（II）集合M中的元素)(xf具有下面的性质：若)(xf的定义域为D，则对于任意[m，n]D，都存在0x[m，n]，使得等式)()()()(0xfmnmfnf成立”，试用这一性质证明：方程0)(xxf只有一个实数根；（III）设1x是方程0)(xxf的实数根，求证：对于)(xf定义域中任意的2|)()(|,1||,1||,,23131232xfxfxxxxxx时且当.13.若函数22()()()xfxxaxbexR在1x处取得极值.（I）求a与b的关系式（用a表示b），并求()fx的单调区间；（II）是否存在实数m，使得对任意(0,1)a及12,[0,2]xx总有12|()()|fxfx21[(2)]1mame恒成立，若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．14.已知二次函数2()fxaxbxc，直线1:2lx，直线22:8lytt（其中02t，t为常数）；.若直线l1、l2与函数fx的图象以及2l、y轴与函数fx的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.（Ⅰ）求a、b、c的值；（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数St的解析式；（Ⅲ）若,ln6)(mxxg问是否存在实数m，使得yfx的图象与ygx的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.15.已知函数23)(axxf图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，f(x)的导数为)('xf，函数3)(')()(xxbfxfxg。（1）若函数g(x)在x=1有极值，求g(x)的解析式；（2）若函数g(x)在[-1,1]是增函数，且)(42xgmbb在[-1,1]上都成立，求实第4页共22页By北辰陨天数m的取值范围。16.设关于x的方程012mxx有两个实根α、β，且。定义函数.12)(2xmxxf（I）求)(f的值；（II）判断),()(在区间xf上单调性，并加以证明；（III）若,为正实数，①试比较)(),(),(fff的大小；②证明.|||)()(|ff17.设直线)(:),(:xFySxgyl曲线.若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有)()(xFxg.则称直线l为曲线S的“上夹线”．（1）已知函数()2sinfxxx．求证：2yx为曲线()fx的“上夹线”．（2）观察下图：根据上图，试推测曲线)0(sin:nxnmxyS的“上夹线”的方程，并给出证明．18.若存在实常数k和b，使得函数()fx和()gx对其定义域上的任意实数x分别满足：()fxkxb和()gxkxb，则称直线:lykxb为()fx和()gx的“隔离直线”．已知2()hxx，()2lnxex（其中e为自然对数的底数）．(Ⅰ)求()()()Fxhxx的极值；(Ⅱ)函数()hx和()x是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．第5页共22页By北辰陨天答案及解析21.[解]（1）22)()(xxfxf----------------------------------------------------------1分当0x时，xx22210x------------------------------------------------2分当0x时，xx22201x-------------------------------3分所以集合]1,1[C--------------------------------------------------------4分（2）05)(1xxaaf05)1()(2xxaaa，令uax则方程为05)1()(2uauuh5)0(h----------------------------------5分当1a时，],1[aau，0)(uh在],1[aa上有解，则05)1()(05111)1(22aaaahaaah5a---------------------------------------7分当10a时，]1,[aau，0)(ug在]1,[aa上有解，则0)1(0)(ahah210a---------------------------------------------9分所以，当210a或5a时，方程在C上有解，且有唯一解。----------------10分（3）]2,41[A-------------------------------------------------11分①当0t时，函数23)(3ttxxxg在]1,0[x单调递增，所以函数)(xg的值域]251,2[ttB，∵BA，∴tt2512412，解得5221tt，即52t------13分②当0t时，任取]1,0[,21xx，1x2x)3)((33)()(2221212123213121txxxxxxtxxtxxxgxg10若1t，∵101x，102x，1x2x，∴222121xxxxt33∴0)()(21xgxg，函数)(xg在区间]1,0[单调递减，]2,251[ttB∴2241251tt：又1t，所以4t。-------------------------------------15分20若10t，第6页共22页By北辰陨天若12()()0,gxgx则须2211223xxxxt，∵1x2x，∴2133xt，1xt.于是当12,[,1]xxt时，2211223xxxxt,12()()0gxgx；---------------16分当12,[0,]xxt时，2211223xxxxt,12()()0.gxgx因此函数)(xg在]1,[t单调递增；在],0[t单调递减.)(xg在tx达到最小值。要使BA，则41)(2)1(2)0(tggg或01)(2)(852423tttt或，因为10t，所以使得BA的t无解。--------------------------------------18分综上所述：t的取值范围是：),4[]52,(2.解：①函数()fx的图象关于原点对称对任意实数x，有()()fxfx32322424axbxcxdaxbxcxd即220bxd恒成立0,0bd32(),()3fxaxcxfxaxc1x时，()fx取极小值23，30ac且23ac1,13ac②当1,1x时，图象上不存在这样的两点使结论成立。假设图象上存在两点1122(,),()AxyBxy，使得过此两点处的切线互相垂直，则由2()1fxx知两点处的切线斜率分别为2211221,1KxKx且2212(1)(1)1xx（