高斯公式-通量与散度

高斯公式物理意义---通量与散度小结思考题作业fluxdivergence第六节高斯(Gauss)公式通量与散度第十章曲线积分与曲面积分高斯Gauss,K.F.(1777–1855)德国数学家、物理学家、天文学家2格林公式把平面上的闭曲线积分与本节的高斯公式表达了空间闭曲面上的曲面积分与曲面所围空间区域上的三重积分的关系.所围区域的二重积分联系起来.高斯(Gauss)公式通量与散度3一、高斯公式vzRyQxPΩd)(,围成由分片光滑的闭曲面设空间闭区域上在、、函数),,(),,(),,(zyxRzyxQzyxPSRQPd)coscoscos(yxRxzQzyPdddddd高斯公式也称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基公式.(俄)1801–1861具有则有公式一阶连续偏导数,或高斯公式的整个边界曲面的是这里,cos,cos.),,(cos处的法向量的方向余弦上点是zyx外侧,高斯(Gauss)公式通量与散度4证明思路vzRyQxPd)(yxRxzQzyPdddddd分别证明以下三式,从而完成定理证明.yxzyxRvzRdd),,(dzyzyxPvxPdd),,(dxzzyxQvyQdd),,(d只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.高斯(Gauss)公式通量与散度▲5xyzOxyzO证),(:22yxzz:3xyDyxyxzzyxz),(),,(),(:21设空间区域Ω母线平行于z轴的柱面.),(:11yxzzvzRyQxPd)(yxRxzQzyPdddddd即边界面321,,由三部分组成:xyDxoy面上的投影域为在xyD(取下侧)(取上侧)(取外侧)nn柱面坐标轴的边界曲面与任一平行假设域.的直线至多相交于两点高斯(Gauss)公式通量与散度n▲6xyzOxyDnnn由三重积分的计算法xyDyxyxzyxRyxzyxRdd)]},(,,[)],(,,[{12vzRd),(),(21dyxzyxzzzRyxxyDddyxzyxRxyDyxzyxzdd),,(),(),(21yxzyxRvzRdd),,(d投影法(先一后二法)高斯(Gauss)公式通量与散度▲7xyzOxyDnnn由曲面积分的计算法yxzyxRdd),,(1取下侧,2取上侧,3取外侧xyDyxyxzyxRdd)],(,,[1yxzyxRdd),,(yxzyxRdd),,(xyDyxyxzyxRdd)],(,,[20123),(:22yxzz),(:11yxzzyxzyxRvzRdd),,(dyxzyxRdd),,(321yxzyxRdd),,(一投,二代,三定号高斯(Gauss)公式通量与散度▲8xyDyxyxzyxRyxzyxRdd)]},(,,[)],(,,[{12yxzyxRdd),,(yxzyxRvzRdd),,(d于是xyDyxyxzyxRyxzyxRdd)]},(,,[)],(,,[{12vzRd高斯(Gauss)公式通量与散度▲9zyzyxPvxPdd),,(d同理xzzyxQvyQdd),,(dvzRyQxPd)(合并以上三式得自己证yxzyxRvzRdd),,(d高斯公式yxRxzQzyPdddddd高斯(Gauss)公式通量与散度▲12高斯(Gauss)公式通量与散度使用Guass公式时应注意:使用Guass公式时易出的差错:(1)搞不清是对什么变量求偏导;RQP,,(2)不满足高斯公式的条件,用公式计算;(3)忽略了的取向,注意是取闭曲面的外侧.vzRyQxPd)(高斯公式yxRxzQzyPdddddd二、简单的应用例1计算曲面积分xdydzzydxdyyx)()(其中Σ为柱面122yx及平面3,0zz所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.xozy113解,,0,)(yxRQxzyP,0,0,zRyQzyxPdxdydzzy)(原式dzrdrdzr)sin(.29xozy113301020)(sinrdzzrdrd16xyzOn例3,dddddd222zyxyxzxzyzyxI计算解Izyxaddd3234343aaa的为球面2222azyx外侧.yxzxzyzyxdddddda1能否直接用点(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式.可先用曲面方程将被积因被积函数中的函数化简，高斯公式高斯(Gauss)公式通量与散度17有时可作辅助面,(将辅助面上的积分减去).化为闭曲面的曲面积分,然后利用高斯公式.对有的非闭曲面的曲面积分,高斯(Gauss)公式通量与散度18coscoscos、、,d)coscoscos(222Szyx)0(0222hhzzzyx及介于平面锥面例4计算曲面积分之间下侧.的法向量的方向余弦.处在是),,(zyx为其中高斯(Gauss)公式通量与散度部分的解空间曲面Σ在xOy面上的,xyD曲面不是为利用高斯公式投影域为xyzOnxyDh)(,:2221hyxhz,1取上侧1.1围成空间区域上在补构成封闭曲面,使用高斯公式.封闭曲面,1n19)ddd(2vzvyvxvzyxd)(2由对称性Szyxd)coscoscos(2221}0,),,({222hzzyxzyxzDyxddzzzhd220vzd2zzhd20342h00SRQPvzRyQxPd)coscoscos(d)(zzhd20高斯(Gauss)公式通量与散度1nnxyzOhxyD先二后一法201d)coscoscos(222SzyxxyDyxhdd24h故所求积分为Szyxd)coscoscos(222.214h1cos,0cos,0cos1d2Sz)(,:2221hyxhz114421hh高斯(Gauss)公式通量与散度1nnxyzOhxyD4211hyxyxSdddd001d例5设函数),,(zyxu和),,(zyxv在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数，证明,)(dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu其中Σ是闭区域的整个边界曲面，nv为函数),,(zyxv沿Σ的外法线方向的方向导数.高斯(Gauss)公式通量与散度证,coscoscoszvyvxvnvdSnvudSzvyvxvu)coscoscos(dSzvuyvuxvu]cos)(cos)(cos)[(利用高斯公式，即得dSnvu,)]()()([dxdydzzvuzyvuyxvux高斯(Gauss)公式通量与散度符号222222zyx，称为拉普拉斯(Laplace)算子，这个公式叫做格林第一公式．,)(dxdydzzvzuyvyuxvxuvdxdydzu,)(dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu高斯(Gauss)公式通量与散度沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件的边界曲线？无关而只取决于与曲面，曲面积分问题：在怎样的条件下RdxdyQdzdxPdydz为零？任意闭曲面的曲面积分即在怎样的条件下，沿高斯(Gauss)公式通量与散度内恒成立．在是等式件分为零）的充分必要条内任一闭曲面的曲面积的边界曲线（或沿无关而只取决于取曲面内与所在则曲面积分，内具有一阶连续偏导数在、、，是空间二维单连通区域设定理GzRyQxPGGRdxdyQdzdxPdydzGzyxRzyxQzyxPG0),,(),,(),,(2我们有以下结论：高斯(Gauss)公式通量与散度30xyzO解(如图)221xzyyxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(2)31(01yxyz是曲线其中.2恒大于计算曲面积分1987年研究生考题,计算(10分)绕y轴旋转曲面方程为一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角01xyz绕y轴旋转高斯(Gauss)公式通量与散度n▲31xyzOzyxzRyQxPddd1zyxyyyddd)4418(yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(2欲求vd:1补取右侧.11I221xzy有nn,3y高斯公式3120202dddyxzDxzyzx3122ddd222)2(:zxDzx柱坐标高斯(Gauss)公式通量与散度203d)2(2.2▲32)32(234yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(12求,3:1y补取右侧1zxDxzdd162)2(162222)2(:zxDzx00zxDxzdd)1(23故高斯(Gauss)公式通量与散度2111I▲1.通量为向量场设有一向量场kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(则称沿场中有向曲面Σ某一侧的曲面积分:通量.fluxdivergence穿过曲面Σ这一侧的),,(zyxASAd高斯(Gauss)公式通量与散度二、物理意义通量与散度通量的计算公式yxRxzQzyPddddddkyxjxzizySddddddd2.散度设有向量场),,,(zyxA为场中任一点,),,(zyxP在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面,它所围成的小区域及其体积记为,V以表示从内穿出的通量,若当,0VV即缩成P点时,极限VV0limVSAVdlim0高斯(Gauss)公式通量与散度记为,divA散度.存在,则该极限值就称为向量场在P点处的A即AdivVV0limVSAVdlim0SAd散度在直角坐标系下的形式dSvdvzRyQxPn)(dSvVdvzRyQxPVn1)(1dSvVzRyQxPn1)(),,(dSvVzRyQxPnM1lim积分中值定理,两边取极限,zRyQxPAdiv高斯(Gauss)公式通量与散度散度的计算公式kzyxRjzy