探究绝对值函数最值的求法

探究绝对值函数最值的求法及应用2011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x-200|——的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外）为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值问题。那么如何求这种多个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。一、利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。例1求函数y=|2x-1|的最小值。解：由于函数12x-1x2y=|2x-1|=1-2x+1x)2（）（，作出其图象如右图：由图象可知其当12x时，原绝对值函数的最小值为0。例2求函数|21||22|yxx的最小值。解：由于该函数|21||22|yxx14x+1(x211=3(-x)22141()2xx），作出其图象如右图所示。则当11-22x时，其函数的最小值为3：例3、求函数y=|x+1|+|x-1|+|x-2|的最小值。解：由于该函数可化成分段函数，则y=|x+1|+|x-1|+|x-2|=3x-2x2)x-4(1x2)3(x=1)-x+4(-1x1)-3x+2(x-1)（作出其图象如右图：结论1：对于函数1212||||()yxxxxxx，当且仅当12xxx时，函数y有最小值21xx。证明如下：由于函数1212||||()yxxxxxx该函数等价于：12221121212()()2()xxxxxyxxxxxxxxxx，作出其图象如右图：从图象可知，当12xxx时，该函数的最小值为21xx。结论2：对于函数123123||||||()yxxxxxxxxx，当且仅当2xx时，函数y有最小值为31xx。证明如下：由于函数123123||||||()yxxxxxxxxx该函数等价于1233321233122311212313()()()()3()xxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxx该函数的图象如右图所示：由图象中知：当且仅当2xx时该函数的最小值为31xx。以上两个结论可推广到任意n个绝对值的和的最值问题。结论如下：推论1：对于函数12212123212||||||||()nnnnyxxxxxxxxxxxxx当且仅当1nnxxx时，函数y有最小值为21212211()()()()nnnnnnxxxxxxxx（nN）。推论2：对于函数1221||||||nyxxxxxx（12321nxxxx）当且仅当nxx时，函数y有最小值21122211()()()nnnnxxxxxx（nN）二．运用以上推论，达到求函数最值的目的：下面我们来解以下高考试题：例1：（2011年陕西省理科高考试题第14题）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为分析：该题是一个实际应用题，考查的知识点是绝对值求和的最值问题。先将该题放在数轴上来研究。即将实际问题抽象成数学问题，通过建立数学模型来解决此问题。解：以一段直线公路为x轴，建立如图所示的数轴坐标系。设领取树苗的坐标为x时，每位同学前来领取树苗往返所走的路程和为y米，则y=2|x-10|+2|x-20|+2|x-30|+2|x-200|——，根据推论1可知：当且仅当100110x米时，函数y=2|x-10|+2|x-20|+2|x-30|+2|x-200|——有最小值：2[(20010)(19020)(18030)(17040)(16050)(15060)(14070)(13080)(12090)(110100)]=2000（米）或2[(10010)(10020)(10030)(10040)(10050)(10060)(10070)(10080)(10090)(100100)+|100110||100120||100130||100140||100150||100160||100170||100180||100190||100200|]=2000（米）例2：（2009年上海高考数学试题）某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外）为发行站，使6个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。分析：该题是一个实际应用题；考查的知识点也是求绝对值和的最值问题。该题已经将格点放在平面直角坐标系中，由于发行站与各报刊之间只能沿x轴与y轴两个方向穿越，因此可将该问题转化为求x轴与y轴两个方向上含绝对值和的最值问题。解：设发行站格点为P00,xy时，使6个零售点沿街道发行站之间路程的和为z，则z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6||2||2||3||3||4||6||1||2||3||4||5||6|xxxxxxyyyyyy要求以上含绝对值和的最值问题，可分别求函数|2||2||3||3||4||6|xzxxxxxx与函数|1||2||3||4||5||6|yzyyyyyy两个函数的最小值。根据以上推论1可知当且仅当33x即3x时，xz有最小值[6(2)][4(2)](33)=14；当且仅当34y时，由于yN即3y或4y时，yz有最小值为：(61)(52)(43)9，所以z=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|的最小值为14+9=23此时，发行站应设在点（3，3）或（3，4）处，但是由于题意，发行站不能作为零售点，因此，发行站只能为（3，3）处。根据以上两种求函数最值的方法：图象法和推论法，它们的本质都来源于去掉绝对值符号；当然对于简单的绝对值函数值域问题（两个或三个绝对值符号），可直接运用图象法比较直观；对于多个含绝对值最值问题，可运用推论来解决，相对简单；当然，对于绝对值求最值问题方法很多，以上方法仅与各位同仁探讨。陕西省西乡县第二中学：王仕林2011-12-17[6(2)][6(2)](63)(63)(64)(66)