等差、等比数列的综合问题

五莲县院西中学张芳课前热身:1.(2012·盘锦调研)已知{an},{bn}均为等差数列,且a2＝8,a6＝16,b2＝4,b6＝a6,则由{an},{bn}的公共项组成的新数列{cn}的通项公式cn＝()A.3n＋4B.6n＋2C.6n＋4D.2n＋2答案：C课前热身:2.已知数列{an}的前n项的和Sn＝2n2-3n,,数列{bn}是各项为正的等比数列，满足a1=-b1,b3(a2-a1)=b1.求数列{an},{bn}的通项公式.考点探究•讲练互动考点突破考点1等差、等比数列的综合问题(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差、等比数列的通项公式,前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.(2)利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值.同时对两种数列的性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程求解.已知等差数列{an}的前四项的和A4＝60,第二项与第四项的和为34,等比数列{bn}的前四项的和B4＝120,第二项与第四项的和为90.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn＝an·bn,且{cn}的前n项和为Sn,求Sn.例1【思路分析】(1)由已知设出公差与公比联立方程求解.(2)利用错位相减法求解.【解】(1)由题意知：对数列{an},a2＋a4＝34A4＝60⇒a2＋a4＝34①a1＋a3＝26②,∴①－②可得：2d＝8,∴d＝4,a1＝9,∴an＝4n＋5(n∈N*).由题意知：对数列{bn},B4＝120b2＋b4＝90,∴b1＋b3＝30③b2＋b4＝90④,④÷③可得：q＝3,则b1＝3,∴bn＝3×3n－1＝3n(n∈N*).(2)由cn＝an·bn＝(4n＋5)·3n,∴Sn＝9·3＋13·32＋17·33＋…＋(4n＋5)·3n.①两边同乘以3得：3Sn＝9·32＋13·33＋17·34＋…＋(4n＋1)·3n＋(4n＋5)·3n＋1.②①
－②得：－2Sn＝9·3＋4·32＋4·33＋…＋4·3n－(4n＋5)·3n＋1＝27＋4·321－3n－11－3－(4n＋5)·3n＋1＝27＋2·3n＋1－18－(4n＋5)·3n＋1,∴Sn＝12[(4n＋3)·3n＋1－9].【名师点评】{an·bn}(一个是等比数列,一个是等差数列)求和是典型的错位相减法求和,解题时注意应用,同时注意公比q的情况.互动探究若将本例(2)中cn＝an·bn改为cn＝an＋bn,又如何求{cn}的前n项和Sn.解：∵cn＝an＋bn,∴cn＝4n＋5＋3n,∴Sn＝4(1＋2＋3＋…＋n)＋5n＋(3＋32＋33＋…＋3n)＝4·nn＋12＋5n＋31－3n1－3＝2n2＋7n＋3n＋1－32＝12·3n＋1＋2n2＋7n－32.考点2数列与函数、解析几何、不等式的综合应用数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点,该类综合题的知识综合性强,能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力,因而一直为高考命题者的首选.课前热身：(2012·威海调研)已知函数f(x)＝a·bx的图象过点A(2,12),B(3,1),若记an＝log2f(n)(n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,则Sn的最小值是________.答案：－3例2.已知函数f(x)＝（2x+3）/3x,数列{an}满足a1=1,an+1＝f(1/an)(n∈N*),（1）求数列{an}的通项公式,（2）令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+……..-a2na2n+1,求Tn方法感悟方法技巧1.深刻理解等差(比)数列的性质,熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列性质既有相似之处,又有区别,要在应用中加强记忆.同时,用好性质也会降低解题的运算量,从而减少差错.2.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解,在解方程组时,仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处.3.数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系,优化组合,无形中加大了综合的力度.解决此类题目,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解,深刻领悟它在解题中的重大作用,常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等.失误防范1.数列的应用还包括实际问题,要学会建模,对应哪一类数列,应用相应的策略进而求解.2.在有些情况下,证明数列的不等式要用到放缩法.考向瞭望•把脉高考命题预测从近几年的高考试题来看,等差数列与等比数列交汇、数列与解析几何、不等式交汇是考查的热点,题型以解答题为主,难度偏高,主要考查学生分析问题和解决问题的能力.预测2013年高考,等差数列与等比数列的交汇、数列与解析几何、不等式的交汇仍将是高考的主要考点,重点考查运算能力和逻辑推理能力.规范解答(本题满分12分)(2010·高考浙江卷)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5,求S6及a1;(2)求d的取值范围.例【解】(1)由题意知S6＝－15S5＝－3,a6＝S6－S5＝－8,所以5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8，解得a1＝7.4分所以S6＝－3,a1＝7.6分(2)因为S5S6＋15＝0,所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0,即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0,8分故(4a1＋9d)2＝d2－8,所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－22或d≥22.12分【名师点评】本题主要考查等差数列的概念、求和公式等基础知识及转化思想,方程思想的运用.本题从外观上看,题设与所求都很普通,其综合强度并不大,但满分率并不高,分析其原因：(1)转化思想运用不熟：不知如何构造关于d的不等式.(2)分析题意有误,认为(1)是(2)的条件将(1)中求得的a1,代入(2)中,结果求不出d的范围.