数列极限例题

三、数列的极限观察数列})1(1{1nn当n时的变化趋势.问题:当n无限增大时,nx是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:当n无限增大时,nxnn1)1(1无限接近于1.问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1给定,1001由,10011n只要100n时,有,10011nx给定,10001只要1000n时,有,100011nx给定,100001只要10000n时,有,1000011nx给定,0只要])1[(Nn时,有1nx成立.定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：N定义,0,0lim:Naxnn使Nn时,恒有.axn其中记号:每一个或任给的;:至少有一个或存在.数列收敛的几何解释:当Nn时,所有的点nx都落在),(aa内,只有有限个(至多只有N个)落在其外.注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.x1x2x2Nx1Nx3x2aaa例1证明.1)1(lim1nnnn证注意到1nx1)1(1nnnn1.任给,0若要,1nx只要,1n或,1n所以,取],1[N则当Nn时,就有1)1(1nnn.即.1)1(lim1nnnn重要说明：（1）为了保证正整数N，常常对任给的,0给出限制10；（2）逻辑“取],1[N则当Nn时,就有1)1(1nnn”的详细推理见下，以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.由于111NN，所以当Nn时一定成立11Nn，即得n1成立.严格写法应该是：任给,0不妨取10，若要1nx=1)1(1nnnn1,只要,1n所以,取],1[N则当Nn时,由于111NN，所以当Nn时一定成立11Nn，即得n1成立.也就是成立1nx=1(1)11nnnn.即.1)1(lim1nnnn小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定,0寻找N,但不必要求最小的N.例3证明0limnnq,其中1q.证任给0(要求ε1)若,0q则;00limlimnnnq若,10q,0nnqx,lnlnqn,lnlnqn取ln[](1),lnNq则当Nn时,就有,0nq.0limnnq说明：当作公式利用：.1,1,1,1,,1,0limqqqqqnn不存在，