数列极限复习题

《数学分析（1，2，3）》复习题2-1第二章极限与连续§１数列的极限与无穷大量一数列极限的定义１写出数列的定义２举几个数列的例子（1）（2）（3）2、什么是数列极限１．简述为什么学习数列的极限2.数列极限的定义写出数列极限定义表述na没有极限３。用N定义来验证数列极限(1)证明13(1)lim0nnn.(2)证明1lim02nn.(3)证明2321lim097nnn.《数学分析（1，2，3）》复习题2-2(4)证明224lim43nnn.(5)证明lim1nna，其中0a.４叙述关于数列的极限的N定义的几点注意事项(1)关于：(2)关于Ｎ：(3)数列极限的几何理解：(4)给出数列极限的等价定义（邻域定义）：(5)证明3n都是发散数列.二无穷小数列给出无穷小数列的定义证明数列na收敛于a的充要条件是naa为无穷小数列。《数学分析（1，2，3）》复习题2-3三证明收敛数列的性质性质1（保不等式性）设数列na与nb均收敛，若存在正数0N，使得当0nN时有nnab，则limlimnnnnab。性质2（保号性）若lim0nnaa（或0a），则对任何(0,)aa（或(,0)aa），存在正数Ｎ，使得当nN时有naa（或naa）。性质3（极限唯一性）若数列na收敛，则它只有一个极限。性质4（迫敛性）设收敛数列na、nb都以a为极限，数列nc满足：存在正数0N，当0nN时有nnnacb，则数列nc收敛，且limnnca.求：求数列nn的极限。《数学分析（1，2，3）》复习题2-4性质5（有界性）若数列na收敛，则na为有界数列。注：数列收敛则必有界，反之未必。试举一例四证明数列极限的运算法则性质６（极限的四则运算法则）若na、nb为收敛数列，则,,nnnnnnababab也都收敛，且有lim()limlimnnnnnnnababab;lim()limlimnnnnnnnababab.若再做假设0nb及lim0nnb，则数列nnab也收敛，且有limlimlimnnnnnnnaaabbb.《数学分析（1，2，3）》复习题2-5使用极限的四则运算法则:(1)求11101110limmmmmkknkkanananabnbnbnb，其中,0,0mkmkab.(2)求lim(2)nnnn五单调有界数列在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极限的存在性问题。定义若数列na的各项满足不等式11()nnnaaaa，则称na为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列．例如：1n为递减数列；2n为递增数列。定理（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限。(1)设1111,1,2,23nann其中2，证明数列na收敛。(2)证明下列数列收敛，并求其极限：3,33,,333,n个根号(3)证明1lim(1)nnn存在《数学分析（1，2，3）》复习题2-6六无穷大量的定义1.无穷大量的定义定义：2.无穷大量的定义几何解释：3.证明32251544nnnn是无穷大量4.给出正无穷大量和负无穷大量的定义七无穷大量的性质和运算1、无穷大量和无穷小量的关系证明：nx为无穷大量，当且仅当，1nx为无穷小量，这里要求1nx有意义。2、无穷大量的一些运算法则(1)证明：正无穷大量的和仍是正无穷大量，负无穷大量的和仍是负无穷大量。无穷大量加上有界数列仍是无穷大量。(2)证明：设nx为无穷大量，ny收敛于0a，则nnxy是无穷大量。