03-第三节-克莱姆法则

第三节克莱姆法则分布图示★引例★齐次与非齐次线性方程组的概念★克莱姆法则★例1★例2★例3★例4★齐次线性方程组解的定理★例5★例6★内容小结★课堂练习★习题7-3内容要点n元线性方程组的概念从三元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n元线性方程组的概念。含有n个未知数nxxx,,,21的线性方程组)1.3(,,,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa称为n元线性方程组.当其右端的常数项nbbb,,,21不全为零时,线性方程组(3.1)称为非齐次线性方程组,当nbbb,,,21全为零时,线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即)2.3(.0,0,0221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa线性方程组(1)的系数ija构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211.克莱姆法则定理1(克莱姆法则)若线性方程组(1)的系数行列式0D,则线性方程组(1)有唯一解,其解为),,2,1(njDDxjj(3)其中),,2,1(njDj是把D中第j列元素njjjaaa,,,21对应地换成常数项,,,,21nbbb而其余各列保持不变所得到的行列式.一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的.对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解.用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值.撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理.定理2如果线性方程组(3.1)的系数行列式,0D则(3.1)一定有解,且解是唯一的.在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理:定理2如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零.对齐次线性方程组(3.2),易见021nxxx一定该方程组的解,称其为齐次线性方程组(3.2)的零解.把定理2应用于齐次线性方程组(3.2)，可得到下列结论.定理3如果齐次线性方程组(3.2)的系数行列式,0D则齐次线性方程组(3.2)只有零解.定理3如果齐次方程组(3.2)有非零解,则它的系数行列式.0D注:在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式,0D则齐次线性方程组(3.2)有非零解.例题选讲例1用克莱姆法则求解线性方程组：4535225323221321xxxxxxx解530021532D31rr,20522530225300210025340255321D31rr,2052)2(5340250025400515222D212rr54005158021rr,6054585405800514305212323D212rr43052181021rr.204381430810521由克莱姆法则,.1,3,1332211DDxDDxDDx例2(E01)用克莱姆法则解方程组.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解6741212060311512D21242rrrr12772121357127702120603113570212322cccc.272733277010353,8167402125603915181D,10867012150609115822D,2760412520693118123D,2707415120903185124D,3278111DDx,42710822DDx,1272733DDx.1272744DDx例3（E02）大学生在饮食方面存在很多问题，很多人不重视吃早饭，多数大学生日常饮食没有规律，为了身体的健康就要制订营养改善行动计划，大学生一日食谱配餐：需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下边是三种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱所需的营养如下给出营养单位食物所含的营养所需营养量食物一食物二食物三蛋白质102020105脂肪010360碳水化合物504010525试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入上述三种食物的量。解：设321,,xxx分别为三种食物的量，则由表中的数据可得出下列线性方程组：525104050603100105202010321321321xxxxxxxxx由克莱姆法则可得1040503100202010D=-7200，1D=1040525310602020105=-39600，2D=105255036002010510=-54000，3D=5254050601001052010=-36000则：1x=DD1=5.5，2x=DD2=7.5，3x=DD3=5从而我们每天可以摄入5.5个单位的食物一、7.5个单位的食物二、5个单位的食物三就可以保证我们的健康饮食了。例4（E03）一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务站。假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如表所示。问这段时间内，每人的总收入是多少（总收入=实际收入+支付服务费）？解设土建师、电气师、机械师的总收入分别为321,,xxx元。根据题意，可以得到,6004.03.07004.01.05003.02.0321231132xxxxxxxxx化简，得被服务者服务者土建师电气师机械师实际收入土建师00.20.3500电气师0.100.4700机械师0.30.40600,6004.03.07004.01.05003.02.0321321321xxxxxxxxx因0694.014.03.04.011.03.02.01D，根据克莱姆法则，方程组有唯一解。由,1080,1005,872321DDD可得.20.1556,13.1448,48.1256332211DDxDDxDDx因此，在这段时间内土建师、电气师、机械师的总收入分别是1256.48元、1448.13元、1556.20元。例5(E04)问为何值时,齐次方程组0)1(0)3(2042)1(321321321xxxxxxxxx有非零解?解D111132421101112431)3)(1(2)1(4)3()1(33)1(2)1(23),3)(2(齐次线性方程组有非零解，则,0D所以,02或3时齐次线性方程组有非零解.例6设方程组abcabzcaybcxcbaczbyaxcbazyx3222试问cba,,满足什么条件时,方程组有惟一解,并求出惟一解.解abcabccbaD1113221ccccabbcaabcccbba)()(100)()(21cbcbac))()((11))((11100))((accbbaaccbbaabacccbba显然,当cba,,互不相等时,,0D该方程组有唯一解.又abcaabccbcbacbaD3112221321ccbccabcaabccbaa211ac1.111aDabcabccbaa同理可得,,32cDDbDD于是.,,321cDDzbDDyaDDx课堂练习1.如果下列齐次线性方程组有非零解,k应取何值?.03204)2(020432142142141kxxxxxxxkxxxxkx2.判定齐次线性方程组0320230320324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx是否仅有零解.