第二章--静电场

第二章静电场习题2.1真空中有一密度为2πnC/m的无限长电荷沿y轴放置，另有密度分别为0.1nC/m2和-0.1nC/m2的无限大带电平面分别位于z=3m和z=-4m处。求点P（1,7,2）的电场强度E。z=-4xyzz=3O图2.1题意分析：题目中给出了3个不同类型电荷的位置与大小，计算空间中一点的电场强度E。可以先分别计算每个电荷在场点产生的电场强度，然后采用叠加原理得出总的场强。考虑平面电荷与直线电荷的电场共同产生电场，选用用直角坐标系进行计算比较合适，如图2.1所示，对圆柱坐标系中计算出的直线电荷电场，需要转换成直角坐标下的形式，再进行矢量叠加求总电场。解：（1）计算无限大平板在P点产生的电场强度在计算无限大平板在P点产生的电场强度时，建立图2.1所示的直角坐标系，则位于z=3m处的无穷大带电平板在P点产生的电场强度1E为：ZeE021.01（1）位于z=-4m的无穷大带电平板在P点产生的电场强度为：ZeE021.02（2）因此，2个无穷大带电板在P点产生的合成场强1E为：ZeE011.0（3）（2）计算无穷长直电荷产生的电场强度对于圆柱坐标系中位于z轴上的长直电荷产生的电场强度至于场点的ρ坐标有关，其电场强度的表达式为：eE02z=-4xyzz=3Oz'ρO'图2.2因此图2.2中所示在沿y轴放置的无穷长线电荷产生的电场2E为：eE022式中22xzzxezxzezxxe2222zxzxezexzxezxzezxxzxE2202222220211122所以，P点(1,7,2)的电场强度E为:mVeeeeeEEEZxZxZ/88.3359.2225111.00021习题2.2如题图2.3所示球形电容器中，对半地填充有介电常数分别为1和2两种均匀介质，两介质交界面是以球心为中心的圆环面。在内、外导体间施加电压U时，试求：（1）采用边值问题计算电容器中的电位函数和电场强度；（2）内导体两部分表面上的自由电荷密度。1RU2R121R图2.3题意分析：题目中要求采用边值问题计算电容器的电位函数与电场强度，需要确定坐标系类型。分析该球形电容器中电场分布，在同种介质中电场具有球对称性，选用球坐标系，原点位于内导体球心。解：（1）计算电容器中电场强度与电位函数建立球坐标系，原点位于球心。在均匀介质1和介质2中，电位分别满足拉普拉斯方程，并且边界面条件相同，所以可判断两个区域的电位函数相同，有12200rRrRU（1）在球坐标系中有22222222111()(sin)0sinsinrrrrrr（2）在两种介质中，都与、无关，所以2221()0rrrr（3）式（3）的通解为12CCr（4）有边界条件解得：12112RRUCRR2212RUCRR所以1221211URRRRrR122211rURReRRrE（2）内导体两部分表面上的自由电荷密度两种介质中的电位移矢量分别为111DE，222ED（5）根据分界面条件21neDD（6）对于本题，设媒质2为介质，媒质1为导体，因此有10D，2nDe则内导体两部分表面上的自由电荷密度为：112•11211()RnUReRRRE122•22211()RnUReRRRE习题2.3图2.3所示为一半径a，带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，两种介质的介电常数分别为ε1和ε2，分界面可视为无限大平面。12aO图2.4试求：（1）两种介质中的电场强度E和电位函数；（2）球的电容C；（3）总静电能量We。题意分析：给出带电导体球的电量，不同介电常数的2种介质，要求计算电场、电位、电容、静电能量。导体球在2种介质中的电场分别呈现球对称性分布，可以用高斯定理方便地求解电场的分布。2种介质之间电场以介质分界面条件相联系。因此本题可以首先根据高斯定理计算出导体球所产生的电场，根据电场的积分进而可以计算出电位分布，从而计算出电容与电场。解：导体球在无限大的介质中产生的电场具有球对称性，选取球坐标系，如图2.5所示，虚线所示为所选高斯面，用于计算两种介质中的电场。12aOr图2.5（1）计算介质内电场在图2.5中根据高斯定理，qSdDSqDrDrSdDS221222在介质的分界面上，电场只有切向方向分量，没有法向方向分量，根据介质分界面条件可以得，12EEE221222rErEq122122rqEEer（2）计算电位根据电位的定义可以得2121222rrrrqqEdledrerr（3）电容由已知电量导体球，其周围空间电位分布已知，按定义式可计算其电容122qCaU（4）静电能量已知电量、电位、电容可以采用下式计算静电能量222122eqqWqUCUCa习题2.4半径为a的导体球，被内半径为b（ba）、外半径为c(cb)的同心导体球壳所包围，两导体间填充介质，其介电系数为ε（常数），外球壳之外为空气。设外导体带有电荷Q，内球接地（假定大地在无限远处）。Oacεbaε0Q图2.6试求：（1）内球上应有的电荷；（2）两个介质区间中的电位与电场强度；（3）求静电独立系统的能量；（4）系统等值电容。题意分析：本题是一个典型的静电场中导体的静电感应问题，导体球位于静电场中，达到静电平衡后，导体球、外球壳与大地形成一个静电独立系统。设内球上有电荷+q，外球上有电荷Q，则外球壳内表面有感应电荷-q，外球壳外表面有电荷（Q＋q）。内导体球接地，大地设在无穷远，二处电位同时都应为零，由此可以计算出电荷q，得出内导体与外球壳间、外导体以外的电场与电位的分布。进一步，导体球与球壳、大地组成的静电独立系统的能量、系统的等值电容可求。解：根据导体球与球壳产生的电场的对称性，选取球坐标系，坐标原点位于球心。做如图2.7中虚线所示的高斯面。OacS1εbaε0Q+q+q-q1E2ES2图2.7（1）导体球的电量设介质内电场强度为1E，空气中电场强度为2E，在导体球壳内外做如图2.7中虚线所示的同心高斯球面S1和S2。根据高斯定理可得，qrESdEs21141（1）qQrESdEs2202042（2）所以braerqEr214（3）crerQqEr224（4）选择大地为电位参考点，则导体球的电位为：041144422211cQqbaqdrrQqdrrqrdErdErdEcbacbaaa（5）0abQqcbaab，（6）（2）两个介质区间中的电位函数与电场强度将（6）分别带入（3）与（4）中可以得出braeababcrQabEr0214（7）creababcrQabcEr02024（8）根据电位的定义，可得ababccQabcbaababcabdrrQqdrrqrdErdErdEcbrcbrrr000022211411444（a≤r≤b）（9）02200()4ccbaQrEdrrcbaab（r≥c）（10）（3）内、外导体与大地组成了静电独立系统，其能量为：2012001112228||ekkrarccbaQWqqQccbaab（4）系统的等值电容200044442ecbaabcQQabCcWQqbaba或1214baqabCba20240cqQCc12044abCCCcba习题2.5已知板间距离为d，电压为U0的两平行电极，浸于介电常数与ε的液态介质中，如图2.8所示。已知液体升高的高度为h，电容器极板的宽度为H，长度为L，介质液体的质量密度为ρm。求：液体在空气与液体分界面上受到的电场力U0dHhε，ρmU0dHhε，ρmOz图2.8图2.9题意分析：题目要求计算液体受到的电场力，根据电场力的定义，首先需要计算出电场能量。题目中给出的是两平行电极，形成一个平板电容，因此可以考虑采用212eWCU计算其电场能量，然后计算液体所受到的电场力。选用直角坐标系如图2.9所示。解选取坐标系如图2.9所示。液面的面积为S（dL），电场强度为dUEx0则静电能量密度为220020e12121dUEwx，2202e22121dUEwx静电能量为2200e0221122eVUUWwdVzSHzSdd将两极板看作电容器，则电容为0CaHzazdd电容中储存的能量：22200e002200022111C2221122UUWUazaHzddUUzSHzSdd液体在空气与液体分界面上的受到的电场力为：2200e0021z22zuconstUWUfSLdd200z2UfLed