二次函数中和角有关的存在性问题

二次函数中与角有关的存在性问题与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角：①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。【类型一相等角的存在性问题】（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角例1如图，直线33xy与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线cbxxy2与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得BOAPCB≌△△（O为坐标原点）。若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m.（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式.（2）求满足POAMPO的点M的坐标.解：(1)易得点P坐标为（3，4），抛物线解析式为432xxy.(2)①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，∴当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，∴点M的坐标为（0，4）；②当点M在线段OP下方时，在x轴正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA.设点D坐标为（n，0），则DO=n，16322nDP，∴16322nn，解得：n=625，∴点D坐标为0625，.设直线PD解析式为bkxy，代入得：7100724xy.联立抛物线解析式得49124,724M综上所述：点M的坐标为（0，4）或49124,724（二）.利用相似三角形构造相等角例2如图，抛物线cbxxy221与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当EDBFAB时，求点F的坐标；解：（1）因为OB=OC=6，所以B（6，0），C6,0，将B、C点坐标代入解析式，得8221622122xxxy，所以点D的坐标为（2，—8）（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设6221,F2xxx，则FG=62212xx，AG=x+2，当EDBFAB时，且BEDGAF，所以BDEFAG∽△△，所以FGAGEBDE，即262212482xxx，当点F在x轴上方时，则有12422xxx，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F点的坐标为297，；当点F在x轴下方时，则有）（12422xxx，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F点的坐标为275，，,综上可知点F的坐标为297，或275，.【类型二二倍角或半角的存在性问题】（一）.二倍角的构造方法如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造2，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则2ADC.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。例3如图，在平面直角坐标系中，直线221xy与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线cbxxy221经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE△的面积为S1，BCE△的面积为S2，求21SS的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得FCD△中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）223212xxy（2）①过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N，∴BNEDME∽△△∴BNDMBEDESS21,设22321,D2aaa，∴221,Maa，∴54)2(51252212221aaaBNDMSS，∴最大值为54.②在OA上取一点P使得PA=PC，设OP=m，则PC=PA=4-m，在Rt△PCO中，由勾股定理得：（4-m）2=m2+22，解得m=23，∴tan∠CPO=34，过D做x轴的平行线交y轴于R，交AC延长线于G，情况一：∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=21，即21DRRC，设22321,D2aaa，∴DR=—a，RC=aa23212，代入得，a1=0，a2=—2，∴xD=—2情况二：∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=34，设FC=4k，DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC=213FGk，∴FG=6k，CG=2k，DG=k53，∴RC=k552，RG=k554，DR=kkk551155453，∴aaakk23215525511RCDR2，∴a1=0(舍去)，a2=1129，综上所述：点D的横坐标为—2或1129.（二）半角的构造方法如图，已知，构造半角可以用下面两种方法：方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D，使得BD=BA，则21D，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠D的值，从而进行相关计算。方法二：如图，直接做的角平分线BE，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠EBC的值。例4如图，在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(xxay与x轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且过点（-2，4）.（1）直接写出a的值和点B的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于M，N两点，两抛物线交于点P，求点M到直线PB的距离；（3）在（2）的条件下，若点D为直线BP上的一动点，是否存在点D，使得PBA21DAB？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.（1）)3)(5(154xxy；B（3，0）（2）A（—5，0）、M（—3，0）、N（3，0）设点M到直线PB的距离为h，则PMBS=PBh21=OPMB21，∴h=524（3）存在，理由：设PBA21DAB，如图，过点B作PBA的平分线BH交y轴于点H，过点H作HG⊥PB于点G，设OH=m，则HG=m，PH=4—m，PG=PB—BG=2，在Rt△PGH中，GH2+PG2=PH2，即m2+22=（4—m）2，解得：m=23∴tan∠HBO=21tanOBOH，∴21ADk故直线AD的表达式为：2521xy①同理直线PB的表达式为：434xy②联立①②并解得：119x，∴点D（2264119，）.