反比例函数题型的综合提优题

-1-第三讲反比例函数典型题、常考题复习2学习目标：能够将反比例函数与其它知识进行联系、综合分析解决相关问题，能够用反比例函数来解决实际问题重点难点：综合运用所学知识解决反比例函数中的综合问题，分析此类问题的切入点，积累解题经验合作探究：典型例题讲解一、反比例函数的实际应用问题例1（2010四川达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图11，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后．．空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?图11-2-【答案】.解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为1ykxb由图象知1ykxb过点（0，4）与（7，46）∴14746bkb.解得164kb,∴64yx,此时自变量x的取值范围是0≤x≤7.(不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函数中)因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为2kyx.由图象知2kyx过点（7,46），∴2467k.∴2322k,∴322yx，此时自变量x的取值范围是x＞7.（2）当y=34时，由64yx得,6x+4=34，x=5.∴撤离的最长时间为7-5=2(小时).∴撤离的最小速度为3÷2=1.5(km/h).(3)当y=4时，由322yx得,x=80.5，80.5-7=73.5(小时).∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.例2、（反比例函数新颖题）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10ºC，待加热到100ºC，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(0C)和通电时间x(min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20ºC，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40ºC的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或-3-时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源）二、反比例函数与翻折结合问题例1．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y＝xk（x＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数y＝xk（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．时间节次上午7:20到校7:45~8:20第一节8:30~9:05第二节…………-4-例2．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y＝xk（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，P点坐标为（2，－3），在反比例函数y＝xk的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．-5-三、反比例函数中的探究性问题例1（2010山东省德州）●探究(1)在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．①若A(-1，0)，B(3，0)，则E点坐标为__________；②若C(-2，2)，D(-2，-1)，则F点坐标为__________；(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程．●归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，AB中点为D(x，y)时，x=_________，y=___________．（不必证明）●运用在图2中，一次函数2xy与反比例函数xy3的图象交点为A，B．①求出交点A，B的坐标；②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．【答案】解：探究(1)①(1，0)；②(-2，21)；(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A，D，B，则AA∥BB∥CC．∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得AD=DB．∴OD=22caaca．即D点的横坐标是2ca同理可得D点的纵坐标是2db．∴AB中点D的坐标为(2ca，2db)．归纳：2ca，2db．xyy=x3y=x-2ABO第1题图3OxyDB第1题图2A第1题图1OxyDBACxyy=x3y=x-2ABOOPA′D′B′OxyDBA-6-运用①由题意得xyxy32.，解得13yx.，或31yx.，．∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1)．②以AB为对角线时，由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1)．∵平行四边形对角线互相平分，∴OM=OP，即M为OP的中点．∴P点坐标为(2，-2)．同理可得分别以OA，OB为对角线时，点P坐标分别为(4，4)，(-4，-4)．∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2)，(4，4)，(-4，-4)．例2（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数y=xk（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．-7-【答案】（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°．∴CG∥DH．∵△ABC与△ABD的面积相等，∴CG＝DH．∴四边形CGHD为平行四边形．∴AB∥CD．（2）①证明：连结MF，NE．设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2）．∵点M，N在反比例函数xky（k＞0）的图象上，∴kyx11，kyx22．∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，∴OE＝y1，OF＝x2．∴S△EFM＝kyx212111，S△EFN＝kyx212122．∴S△EFM＝S△EFN．由（1）中的结论可知：MN∥EF．②MN∥EF．课堂练习达标训练1、若一次函数y＝2x－1和反比例函数y＝2kx的图象都经过点（1，1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是-8-平行四边形，请你直接写出点P的坐标．2、已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=xk的图象交于点A(3,2)（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象信息回答问题：在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于该正比例函数的值？（3）M(m,n)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，求过点M、A的一次函数解析式和求出线段MA的长．能力提升1、（育才二模）⑴“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规-9-不可能“三等分任意角”.但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的.如图a，∠AOB＝90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分.仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON＝45°）.（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）⑵数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数1yx的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB＝13∠AOB.要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：①设1(,)Paa、1(,)Rbb，求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）.②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q.请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB＝13∠AOB.2.（2011江苏镇江常州）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数错误!未找到引用源。y＝kx（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．OEDCBA图a图c图bONM-10-（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE．OF．EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M．E．F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；反比例函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：分类讨论．分析：（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；（2）当k＞2时，点E．F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE=错误!未找到引用源。k2﹣k+1，根据S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGD﹣S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，BMFQ＝EMFM，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．课外练习-11-1、如图，矩形OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿BC折叠，使点A落在点A′处，A′B与y轴交于点F。已知OA＝1，AB＝2。⑴设CF＝x，则OF＝__________；⑵求BF的长；⑶设过点B的双曲线为xky（k≠0），试问双曲线l上是否存在一点M，使得以OB为一边的△OBM的面积等于1？若存在，试求出点M的横坐标；若不存在，试说明理由。2、-12-