中山大学数学分析高等代数考研试题集锦20042013年

2013年中山大学数学分析考研真题一、（24分）计算下列极限：)(i设,)(1)2(1)1(1222nnnnnnx+++=求.limnnx∞→)(ii),(lim1112+∞→−nnnxxn其中.0x)(iii,1lim1ddmdidmmdmi+−∑+=∞→其中.0d二、（20分）)(i叙述数列{}na收敛的柯西收敛准则并证明之.)(ii用柯西收敛准则证明：数列.ln13ln312ln21nnan+++=趋于无穷大.三、（20分）证明)(ixxfsin)(=在),0[∞上一致连续.)(ii2sin)(xxg=在),0[∞上不一致连续.四、（16分）设),,2,1(21,1211=+−=−=+nxxxnn证明nnx∞→lim存在.五、（10分）设,,2,1,0=nan证明.1)11(lim1≥−++∞→nnnaan六、（10分）设,10x求∑∞=−=12)1()(kkkxxxS的极值.七、（10分）计算,)()(22∫+−−+Cyxdyyxdxyx其中C是一条从)0,1(−到)0,1(不经过原点的光滑曲线：.11),(≤≤−=xxfy八、（12分）计算∫∫++Sxydzdxzxdydzyzdxdy,其中S是由,122=+yx三个坐标平面及222yxz−−=所围立体图形在第一卦限的外侧.九、（12分）讨论级数∑∞==11sinkkkx在[]π2,0上的一致收敛性.十、（16分）)(i分别将函数2)(xxf−=π和≤−≤≤−=πππxxxxxg1,10,)1()(在[]π，0按正弦)(Fourier级数展开；)(ii证明.)sin(sin211∑∑∞=∞==nnnnnn2013年中山大学高等代数考研真题1、设E为数域,,EF⊂且E作为F上的线性空间，维数为.m设V为E上的n维线性空间.证明：V作为F上的线性空间维数为.mn2、设f是F上线性空间)(FMn到F的线性映射，nIf=)(且对任意的矩阵)(,FMBAn∈有).()(BAfABf=证明：trf=（注：tr为迹函数，∑==niiiaAtr1)(）.3、设),(,FMBAn∈,)(nArank且,21kBBBA=其中.,,2,1,2kiBBii==证明：)).(()(AranknkAIrank−≤−4、设.nmFA×∈若对任意n维向量,nFb∈线性方程组bAX=有解.证明：.)(mArank=5、设23)1()(,)(xxgxxf−==.(1)求)(),(xvxu使）；xgxvxfxuxgxf()()()())(),((+=(2)设.1)(,2)(21=+=xrxxr求一多项式)(xh使下列同余方程式成立：)).()(mod()()),()(mod()(21xgxrxhxfxrxh≡≡6、设σ是F上线性空间V上的线性变换.W是σ的不变子空间.mλλ，，1是σ的两两不同的特征根，mαα,,1分别是属于mλλ，，1的根向量.若,1Wm∈++=ααα证明.,,1,miWi=∈α7、设复矩阵.1011020011112320−−−−=A求A的Jordan标准型和最小多项式.8、设W为下列实线性方程组的解空间.分别求W与⊥W（W的正交补）的一个标准正交基：.0,023214321=−+=+−+xxxxxxx9、设实矩阵.324262423−−−−−−=A求正交矩阵使APP1−为对角矩阵.10、设BA,都是n阶实矩阵，其中A正定，B半正定.证明：.det)det(ABA≥+