考点20两角和与差的正弦余弦和正切教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点20两角和与差的正弦、余弦和正切1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝π6，则角C＝()A.π6B．π4C．π6或3π4D．π4或3π4【答案】B【解析】在△ABC中，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，即32＝b2＋c2－a22bc，所以b2＋c2－a2＝3bc.又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝3bc，即c＝(3－1)b＜b，则a＝2－3b，所以cosC＝b2＋a2－c22ab＝22，解得C＝π4.故选B.2、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝7，c＝4，cosB＝34，则△ABC的面积为()A．37B．372C．9D．92【答案】B【解析】.由余弦定理b2＝c2＋a2－2accosB，得7＝16＋a2－6a，解得a＝3，∵cosB＝34，∴sinB＝74，∴S△ABC＝12casinB＝12×4×3×74＝372.故选B.3、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2－a2＝3bc，且b＝3a，则下列关系一定不成立的是()A．a＝cB．b＝cC．2a＝cD．a2＋b2＝c2【答案】B【解析】由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32，则A＝30°.又b＝3a，由正弦定理得sinB＝3sinA＝3sin30°＝32，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，△ABC为直角三角形，且2a＝c，可知C，D成立；当B＝120°时，C＝30°，所以A＝C，即a＝c，可知A成立．故选B.4、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sinA∶sinB＝1∶3，c＝2cosC＝3，则△ABC的周长为()2A．3＋33B．23C．3＋23D．3＋3【答案】C【解析】因为sinA∶sinB＝1∶3，所以b＝3a，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋（3a）2－c22a×3a＝32，又c＝3，所以a＝3，b＝3，所以△ABC的周长为3＋23，故选C.5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则c＝()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】∵S△ABC＝12bcsinA，∴3＝12×1×c×32，∴c＝4.6、在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.0，π6B．π6，πC.0，π3D．π3，π【答案】C【解析】由正弦定理及sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cosA＝b2＋c2－a22bc≥bc2bc＝12，又0＜A＜π，所以0＜A≤π3.故A的取值范围是0，π3.故选C.7、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若cb＜cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】根据正弦定理得cb＝sinCsinB＜cosA，即sinC＜sinBcosA，∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)＜sinBcosA，整理得sinAcosB＜0.又在三角形中sinA＞0，∴cosB＜0，∴π2＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形．8、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A3【答案】A【解析】因为A＋B＋C＝π，sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sin(A＋C)＋2sinBcosC＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinBcosC＝sinAcosC.又cosC≠0，所以2sinB＝sinA，所以2b＝a，故选A.9、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝3，c＝2，则A＝()A.π6B．π4C．π3D．π2【答案】C【解析】∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋22－722×3×2＝12，且A∈()0，π，∴A＝π3.故选C.10、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sinAsinC＋sinB，则B等于()A.π6B．π4C.π3D．3π4【答案】C【解析】根据正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，得c－bc－a＝sinAsinC＋sinB＝ac＋b，即a2＋c2－b2＝ac，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，又0＜B＜π，所以B＝π3，故选C.11、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2＋b2－c2)tanC＝ab，则角C的大小为()A.π6或5π6B．π3或2π2C.π6D．2π3【答案】A【解析】由题意知，a2＋b2－c22ab＝12tanC⇒cosC＝cosC2sinC，∴sinC＝12.又C∈(0，π)，∴C＝π6或5π6.故选A.12、在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝()A.31010B．10104C．－1010D．－31010【答案】C【解析】如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝13BC，则CD＝23BC，AB＝23BC，AC＝53BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝29BC2＋59BC2－BC22×23BC×53BC＝－1010，故选C.13、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＋sinA－2cosB＋sinB＝0，则a＋bc的值是()A．1B．2C.3D．2【答案】B【解析】因为cosA＋sinA－2cosB＋sinB＝0，所以(cosA＋sinA)(cosB＋sinB)＝2，所以cosAcosB＋sinAsinB＋sinAcosB＋cosAsinB＝2，即cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，所以cos(A－B)＝1，sin(A＋B)＝1，又A，B分别为三角形的内角，所以A＝B，A＋B＝π2，所以a＝b，C＝π2，所以a＋bc＝22c＋22cc＝2，故选B.14、△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.3π4B．π3C．π4D．π6【答案】C【解析】∵b＝c，∴B＝C.又由A＋B＋C＝π得B＝π2－A2.由正弦定理及a2＝2b2(1－sinA)得sin2A＝2sin2B·(1－sinA)，即sin2A＝2sin2π2－A2(1－sinA)，即sin2A＝2cos2A2(1－sinA)，即4sin2A2cos2A2＝2cos2A2(1－sinA)，整理得cos2A21－sinA－2sin2A2＝0，即cos2A2(cosA－sinA)＝0.∵0＜A＜π，∴0＜A2＜π2，∴cosA2≠0，5∴cosA＝sinA．又0＜A＜π，∴A＝π4.15、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．150°B．120°C．60°D．30°【答案】D【解析】由a2－b2＝3bc，得sin2A－sin2B＝3sinB·sinC，∵sinC＝23sinB，∴sinA＝7sinB，∴c＝23b，a＝7b，由余弦定理得cosA＝12b2＋b2－7b22×23b×b＝32，∴A＝30°.故选D.16、在△ABC中，A＝π4，b2sinC＝42sinB，则△ABC的面积为________．【答案】2【解析】因为b2sinC＝42sinB，所以b2c＝42b，即bc＝42，故S△ABC＝12bcsinA＝12×42×22＝2.17、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcosA＋acosB)＝c2，b＝3，3cosA＝1，则a的值为________．【答案】3【解析】由正弦定理可得2(sinBcosA＋sinAcosB)＝csinC，∵2(sinBcosA＋sinAcosB)＝2sin(A＋B)＝2sinC，∴2sinC＝csinC，∵sinC＞0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴a＝3.18、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝2π3，△ABC的面积为1534，则cos2A＝________．【答案】7198【解析】由三角形的面积公式，得S△ABC＝12acsinB＝12×a×5×sin2π3＝12×32×5a＝1534，解得a＝3.由b2＝a2＋c2－2accosB＝32＋52－2×3×5×－12＝49，得b＝7.由asinA＝bsinB⇒sinA＝absinB＝37sin2π3＝3314，∴cos2A＝1－2sin2A＝1－2×33142＝7198.19、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝________.【答案】326【解析】因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得1sinA＝3sin60°，解得sinA＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S△ABC＝12ab＝32.20、已知△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．【答案】152；104【解析】由余弦定理得cos∠ABC＝42＋22－422×4×2＝14，∴cos∠CBD＝－14，sin∠CBD＝154，∴S△BDC＝12BD·BC·sin∠CBD＝12×2×2×154＝152.又cos∠ABC＝cos2∠BDC＝2cos2∠BDC－1＝14，0＜∠BDC＜π2，∴cos∠BDC＝104.21、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b2＋c2＝2a2，则cosA的最小值为________．【答案】12【解析】因为b2＋c2＝2a2，则由余弦定理可得a2＝2bccosA，所以cosA＝a22bc＝12×b2＋c22bc≥12×2bc2bc＝12(当且仅当b＝c时等号成立)，即cosA的最小值为12.22、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．【答案】【解析】(1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA.故sinBsinC＝23.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－12，7即cos(B＋C)＝－12.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题设得12bcsinA＝a23sinA，a＝3，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，由bc＝8，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.23、如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosA＝bcosC＋ccosB.(1)求角A的大小；(2)若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．【答案】【解】(1)由题意及正弦定理得2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA．∵sinA≠0，∴cosA＝12.∵A∈(0，π)，∴A＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，即16＝4＋AC2－2AC，解得AC＝1＋13，或AC＝1－13(负值，舍去)．∵BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，∴ADDC＝A