《等差数列前n项和》教案

1《等差数列前n项和》教案（高一年级第一册·第三章第三节）一、教材分析●教学内容《等差数列前n项和》人教版高中教材第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用●地位与作用高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1.从特殊到一般的研究方法；2.逆序相加求和。不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。二、学情分析●知识基础：高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。●认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。●任教班级学生特点：我所任教的班级是普通班级，学生基础知识不是很扎实，处理抽象问题的能力还有待进一步提高.三、目标分析1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标．●知识与技能目标掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。●过程与方法目标经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。●情感、态度与价值观目标获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。2、教学重点、难点根据教学内容和本校学生特点，我确定本节课的教学重点为：●重点等差数列前n项和公式的推导和应用.●难点等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。2●重、难点解决的方法策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．四、过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：五、教学过程教学环节活动说明创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？现实模型：①图片欣赏②生活实例模型直观用实际生活引入新课。新课引入教师活动学生活动创设情景提出问题（2分钟）探究等差数列前n项和公式（18分钟）公式应用与议练活动（1）（5分钟）公式的认识与理解（4分钟）公式应用与议练活动（2）（9分钟）归纳总结（2分钟）3首先认识一位伟大的数学家——高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100？分析高斯求法得出的式子，发现Sn=1＋2＋3＋…＋98+99+100（1）Sn=100＋99＋98＋…＋3+2+1（2）（1）+（2）得：设等差数列{na}前n项和为nS,则问题1老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？老师：但是否刚好配对成功呢？但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n项和公式呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n项和呢？方法一：两式相加得：方法二同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：两式相加得：引导学生带入等差数列的通项公式，换学生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050学生:通过等式变形，可把一组数求和看作先求得两组完全相同的数组的和再除以2即可学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于。学生：不一定，需要对n取值的奇偶进行讨论。当n为偶数时刚好配对成功。当n奇数时，中间的一项落单了。学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。（由上一问题的解决，学生容易想到倒序相加求和法。）学生：利用倒序相加求和法。将nS中的每一项用等差数列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的d都被正负抵消了。高斯求和众所周知，学生能快速解答。这里用到了等差数列脚标和性质从高斯算法出发，对n进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。在等差数列前n项和公式的推导过程中，探索公式nnnaaaaS121naa1nnnaaaaS121121aaaaSnnn)(21nnaanS)(21nnaanS])1([...)(111dnadaaSn])1([...)(dnadaaSnnnn)(21nnaanS)(211nnaanS：公式nadnnnaSn2)1(21：公式）（10011002nS4议练活动掉整理得到公式2。能否给求和公式一个几何解释呢？教师提示将求和公式与梯形建立联系。1ana例1：某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：m）是：750080008500900095001000010500这位长跑运动员７天共跑了多少米？本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、末项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。剖析公式：教师提示，从方程中量的关系入手。例2等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和为54？学生类比方法一与方法二的联系与区别。学生：将求和公式与梯形面积公式建立联系。学生自己阅读教材，体会教材的解法是如何运用求和公式。观察多媒体课件演示。学生讨论：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。学生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式2进行通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程利用数形结合的思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言。通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活例2在解决了探索公式1()12nnnaaS公式1(1)22nnnSnad公式dnaan)1(1通项公式：2)(:11nnaanS公式5议练活动课堂总结本例已知首项，前n项和、并且可以求出公差，利用公式2求项数。事实上，在两个求和公式中各包含四个元素，从方程的角度，知三必能求余一。例3．在等差数列na中，已知，求naa及1。本小题主要考察了对公式一的整体应用。根据课堂剩余时间，本题作为机动练习，（2）小问留给学生课后完成1、教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．动手体验，反馈信息（2个练习题）1.在等差数列na中，若69121534aaaa，求20S2.课后作业：A必做题教材118页：练习１、２、３；习题3.3第２题（３、４）B选做题：在等差数列中，运算，利用了方程的思想。需要注意的是学生可能会把公差认为是-4以及解得n的值后未把n=-3舍去。本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。可以使用公式2，先求出首项，再使用通项公式求末项。也可以使用公式1和通项公式，联列方程组求解。本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想.（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。例1的基础上，由浅入深，深化了对公式的理解，体现了方程的思想。紧扣教材，让学生体会整体应用公式，类比化归的思想方法，同时，为以后综合问题的解答设下伏笔。629,37,20nsnd120,54,999,.nnnaaasn在等差数列中，求11616151252,202;,361sasaaaa求、已知求、已知