考点61n次独立重复试验与二项分布教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点61n次独立重复试验与二项分布1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为PP≥1516，则n的最小值为()A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】P＝1－12n≥1516，解得n≥4.2．设X～B(4，p)，其中0＜p＜12，且P(X＝2)＝827，那么P(X＝1)＝()A.881B．1681C．827D．3281【答案】D【解析】P(X＝2)＝C24p2(1－p)2＝827，即p2(1－p)2＝132·232，解得p＝13或p＝23(舍去)，故P(X＝1)＝C14p·(1－p)3＝3281.3．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为()A.127B．23C.827D．49【答案】C【解析】由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于13的概率为P＝1－13＝23，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于13的概率为233＝827.故选C.4．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为()A.5660B．35C．12D．160【答案】B2【解析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝13，P(B)＝14，P(C)＝15，所以P(A)＝23，P(B)＝34，P(C)＝45.由题意知A，B，C为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－25＝35.5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)＝()A．C10123810582B．C91238958238C．C911582382D．C9113810582【答案】D【解析】由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为38，所以P(X＝12)＝C911389×582×38.6．设随机变量X服从二项分布X～B5，12，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是()A.56B．45C．3132D．12【答案】C【解析】∵函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.∵X服从X～B5，12，∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－125＝3132.7．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是()A.12B．32C.34D．14【答案】B【解析】解法一：由题意知，每次试验成功的概率为34，失败的概率为14，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝142＝116，P(X＝1)＝C12×14×34＝616＝38，P(X＝2)＝342＝916，E(X)＝0×116＋1×38＋2×916＝32.3解法二：由题意知，一次试验成功的概率p＝34，故X～B2，34，所以E(X)＝2×34＝32.8．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是()A.125729B．80243C．665729D．100243【答案】C【解析】一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－1－13×1－13＝1－49＝59，设X为3次试验中成功的次数，所以X～B3，59，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C03×590×493＝665729.故选C.9．某种电路开关闭合后会随机出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率为12，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次闭合后出现红灯闪烁的概率为()A.110B．15C.25D．12【答案】C【解析】设“开关第一次闭合后出现红灯闪烁”为事件A，“开关第二次闭合后出现红灯闪烁”为事件B，则“开关两次闭合后都出现红灯闪烁”为事件AB，“开关在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次闭合后出现红灯闪烁”为事件B|A，由题意得P(A)＝12，P(AB)＝15，∴P(B|A)＝PABPA＝25，故选C.10．某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为()A.89B．7381C.881D．19【答案】C【解析】因为该射手每次射击击中目标的概率是23，所以每次射击不中的概率为13，设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“该射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)＝P(A1A2A3A4A5)＋P(A1A2A3A4A5)＋P(A1A2A3A4A5)＝233×132＋13×233×13＋132×233＝881.411．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为6364，则事件A恰好发生一次的概率为()A.14B．34C.964D．2764【答案】C【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝6364，得p＝34，则事件A恰好发生一次的概率为C13×34×1－342＝964.故选C.12．假设一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否出现故障是相互独立的．已知4引擎飞机中至少3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．若要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是()A.23，1B．13，1C.0，23D．0，13【答案】B【解析】一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，正常运行的概率是p，且各引擎是否出现故障是相互独立的，由题意，4引擎飞机可以成功飞行的概率是C34p3(1－p)＋p4,2引擎飞机可以成功飞行的概率是p2，则C34p3(1－p)＋p4＞p2，化简得3p2－4p＋1＜0，解得13＜p＜1.故选B.13．若随机变量ξ～B5，13，则P(ξ＝k)最大时，k的值为________．【答案】1或2【解析】由题意得P(ξ＝k)＝Ck513k·1－135－k，k＝0,1,2,3,4,5，则P(ξ＝0)＝32243；P(ξ＝1)＝80243；P(ξ＝2)＝80243；P(ξ＝3)＝40243；P(ξ＝4)＝10243；P(ξ＝5)＝1243.故当k＝1或2时，P(ξ＝k)最大．14．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每个人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)＝________.【答案】12【解析】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙两人从另外两个景点中选择，所以甲独自去一个景点的可能情况共有3×2×2＝12(种)．因为三个人去的景点不同的可能情况共有3×2×1＝6(种)，所以P(A|B)＝612＝12.15．已知一书包中有两本语文资料和一本数学资料，除内容不同外其他均相同，现在有放回地抽取资料，5每次抽取一本，记下科目后放回书包中，连续抽取三次，X表示三次中语文资料被抽中的次数，若每本资料被抽取的概率相同，每次抽取相互独立，则方差D(X)＝________.【答案】23【解析】每次抽取时，取到语文资料的概率为23，取到数学资料的概率为13，所以取出语文资料的次数X服从二项分布，即X～B3，23，所以D(X)＝3×23×1－23＝23.16．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.【答案】1.96【解析】X～B(100,0.02)，所以D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.17．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．【答案】516【解析】移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动2次，向上移动3次，故其概率为C35123·122＝C35125＝516.18．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A袋中的概率为________．【答案】34【解析】记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为事件B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝123＋123＝14，从而P(A)＝1－P(B)＝1－14＝34.19．空气质量指数(AirQualityIndex，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分6为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图．(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．【答案】(1)18(2)ξ0123P8125361255412527125【解析】(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，所以该样本中空气质量为优良的频率为610＝35，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×35＝18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B3，35.所以P(ξ＝0)＝253＝8125，P(ξ＝1)＝C1335252＝36125，P(ξ＝2)＝C2335225＝54125，P(ξ＝3)＝353＝27125.ξ的分布列为ξ0123P812536125541252712520．已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为13.某小组为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，进行了药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关．(1)若出现A症状，则立即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；7(2)若在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则在这个用药周期结束后终止试验．若试验至多持续两个周期，设药物试验持续的用药周期为η，求η的分布列．【答案】(1)6581(2)η12P1989【解析】(1)解法一：记试验持续i天为事件Ai，i＝1,2,3,4，试验至多持续一个周期为事件B，易知P(A1)＝13，P(A2)＝23×13，P(A3)＝232×13，P(A4)＝233×13，则P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝6581.解法二：记试验至多持续一个周期为事件B，则B为试验持续超过一个周期，易知P(B)＝234＝1681，所以P(B)＝1－234＝6581.(2)随机变量η的所有可能取值为1,2，P(η＝1)＝C34133·23＋134＝19，P(η＝2)＝1