考点62离散型随机变量均值与方差正态分布教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点62离散型随机变量均值与方差、正态分布1．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）一试验田某种作物一株生长果个数x服从正态分布290,N，且700.2Px，从试验田中随机抽取10株，果实个数在90,110的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为（）A．3B．2.1C．0.3D．0.21【答案】B【解析】∵290(),xN～，且700.2Px，所以1100.2Px∴901100.50.20.3Px，∴10,0.3XB～，X的方差为100.310.32.1．故选B．2．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（）A．10B．9C．8D．7【答案】B【解析】∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称，∵P（95≤ξ≤105）=0.32，∴P（ξ≥115）=12（1-0.64）=0.18，∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9故选：B．3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望()EX_______．【答案】3002【解析】设没有发芽的种子数为Y,则有2XY,由题意可知Y服从二项分布，即Y(1000,0.15)B,()10000.15150EY,()2()300EXEY.4．（河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A卷理）已知随机变量X服从正态分布2,1N，若223PXaPXa，则a__________．【答案】1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X，结合题意有：2232,12aaa.故答案为：1．5．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试成绩2(100,)XN.统计结果显示数学考试成绩X在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则数学成绩不低于120分的学生人数约为__________．【答案】3250【解析】因为成绩2100,XN，所以正态分布曲线关于100X对称，又成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的34，由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的1311248，所以此次考试成绩不低于120分的学生约有12600032508.6．（2019届湘赣十四校高三联考第二次考试理）我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为23，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为12.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求的分布列与数学期望.【答案】（1）736（2）见解析3【解析】设X表示2名女性观众中认为好看的人数，Y表示2名男性观众中认为好看的人数，则12,2XB，22,3YB.（1）设事件A表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则2,12,01,0PAPXYPXYPXY,222212022221211123323CCCC21022111722336CC.（2）的可能取值为0，1，2，3，4，00,0PPXY2200221112336CC，11,00,1PPXYPXY，=2210012222111121223233CCCC16，22,01,10,2PPXYPXYPXY,2220112222111121232233CCCC22022212132336CC，31,22,1PPXYPXY,2212212222112121223233CCCC13，42,2PPXY222222121239CC，∴的分布列为01234P13616133613194∴11131170123436636393E.7．（天津市耀华中学2019届高三第一次模拟考试数学理）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。(Ⅰ)现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球，重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球，求：①最多取两次就结束的概率；②整个过程中恰好取到2个白球的概率；(Ⅱ)若改为从中任取出一球确定颜色后不放回盒子里，再取下一个球。重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球，则设取球的次数为随机变量,求的分布列和数学期望,【答案】(Ⅰ)①51100，②27200；(Ⅱ)答案见解析.(Ⅰ)①设取球的次数为X，则131103(1)10CPXC，117311101021(2)100CCPXCC，故最多取两次就结束的概率151(1)(2)100PPXPX.②由题意可知，可以如下取球：红白白，白红白，白白红，白白蓝，所以恰好取到2个白球的概率：2433333273101010101010200P.(Ⅱ)随机变量的取值为1,2,3，37321(1),(2)1010990PP，76376542(3)1098109890P，随机变量的分布列为：123P3107301430的数学期望371413()1231030306E.8．（天津市红桥区2019届高三二模数学理）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取53个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．I.求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；II.求随机变量的分布列和期望．【答案】I.23；II.见解析【解析】I.一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A则A为一次取出的3个小球上有两个数字相同115831013CCPAC12133PAII.由题意可知所有可能的取值为：2,3,4,52112222231041212030CCCCPC；21124242310162312015CCCCPC；21126262310363412010CCCCPC；21128282310648512015CCCCPC的分布列为：2345P130215310815则1238132345301510153E9．（广东省2019届高考适应性考试理）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进。目前，国家教育主管部门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求。为激发学生加强体育活动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止。设甲在每局中获胜的概率为12pp，且各局胜负相互独6立。已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.（1）求p的值；（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望EX.【答案】(1)23p(2)见解析【解析】解：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．所以有225(1)9pp．解得23p或13p（舍）．（2）依题意知，依题意知，X的所有可能值为2，4，6，8．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9PX，5520(4)(1)9981PX，55580(6)(1)(1)999729PX，55564(8)(1)(1)(1)1999729PX．所以随机变量X的分布列为：X2468P5920818072964729则520806425222468981729729729EX10．（天津市河西区2019届高三一模数学理）2.5PM是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.虽然2.5PM只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影7响.我国2.5PM标准如下表所示.我市环保局从市区四个监测点2018年全年每天的2.5PM监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示.（Ⅰ）求这15天数据的平均值；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）以15天的2.5PM日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.【答案】（Ⅰ）25（Ⅱ）分布列见解析，1E（Ⅲ）一年中平均有120天的空气质量达到一级.【解析】（Ⅰ）解：随机抽取15天的数据的平均数为：1252831925515x（Ⅱ）依据条件，的可能值为0,1,2,3，当0时，0351031524091CCPC，当1时，1251031545191CCPC，当2时，2151031520291CCPC，当3时，305103152091CCPC，8所以其分布列为：0123P249145912091291数学期望为：45202231919191E（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P，一年中空气质量达到一级的天数为，则1~360,3B，∴13601203E（天）所以一年中平均有120天的空气质量达到一级.11．（天津市河北区2019届高三一模数学理）某小组共7人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动的次数为1，2，3的人数分别为2，2，3.现从这7人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会：（Ⅰ）设A为事件“选出的2人参加义工活动的次数之和为4”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）13;（Ⅱ）见解析【解析】（I）由已知得：P11223227CCC1C3，∴事件A发生的概率为13；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2；计算22222327CCC5PX0C21，P（X＝1）1111223227CCCC10C21，P（X＝2）112327CC2C7；9∴随机变量X的分布列为X012P521102127∴随机变量X的数学期望为E（X）＝0521110212222721．12．（天津市部分区2019届高三联考一模数学