3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(改)

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式问题提出1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是什么？2.是特殊角，与是倍半关系，利用上述公式可以求的三角函数值.如果能推导一组反映倍半关系的三角函数公式，将是很有实际意义的.4488探究（一）：二倍角基本公式思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当β＝α时，这三个公式分别变为什么？sin2α＝2sinαcosα；2tan1tan22tan.cos2α＝cos2α－sin2α；思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角α的取值范围分别如何？思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的三角函数关系？sin3ɑ=3sinɑ-4sin2ɑcos3ɑ=4cos2ɑ-3cosɑsin2α，cos2α为任意值，tan2α为使恒等式成立的α值.思考1：1＋sin2α可化为什么？1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα，cosα与cos2α的关系分别如何？21cos2sin2aa-=21cos2cos2aa+=思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是否存在某种关系？21cos2tan1cos2aaa-=+2sin2cos12cos12sintantancossincos2cossin22cos12sin2tancossincos2sin22sin2cos1ins2思考4：sin2α，cos2α能否分别用tanα表示？22tansin21tanaaa=+221tancos21tanaaa-=+22222tan1tan1sincossincossincos222cos222tan1tan2sincoscossin2cossin22sin2[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(3)对任意角α，总有tan2α＝2tanα1－tan2α.()√××2．已知sinα＝35，cosα＝45，则sin2α等于()A.75B.125C.1225D.2425答案：D3．计算cos215°－sin215°结果等于()A.12B.22C.33D.32答案：D4．已知α为第三象限角，cosα＝－35，则tan2α＝________.答案：－247[典例]求下列各式的值：(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)cos20°cos40°cos80°.给角求值问题[解](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单．而(4)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．[活学活用]求下列各式的值．(1)sinπ8sin3π8；(2)cos215°－cos275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan30°1－tan230°.解：(1)∵sin3π8＝sinπ2－π8＝cosπ8，∴sinπ8sin3π8＝sinπ8cosπ8＝12·2sinπ8cosπ8＝12sinπ4＝24.(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝32.(3)2cos25π12－1＝cos5π6＝－32.(4)tan30°1－tan230°＝12×2tan30°1－tan230°＝12tan60°＝32.[典例]化简：(1)11－tanθ－11＋tanθ；(2)2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.化简问题[解](1)原式＝1＋tanθ－1－tanθ1－tanθ1＋tanθ＝2tanθ1－tan2θ＝tan2θ.(2)原式＝cos2α2tanπ4－αcos2π2－π4－α＝cos2α2tanπ4－αcos2π4－α＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsin2×π4－2α＝cos2αcos2α＝1.1tan1tan1tan1tan11tan1tan1tan4tan1tan4tan1tan1tan1)4tan(1)cos)(sin4tan(sincos)cos)(sin4tan(sincos)cos)(sin4tan(2cos]cossin2cos)[sin4tan(2cos)2sin1)(4tan(2cos)]4(2cos1)[4tan(2cos)4(sin2)4tan(2cos2222222原式(1)化简三角函数式的常用方法：①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次．(2)化简三角函数式的常用技巧：①特殊角的三角函数与特殊值的互化；②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；③对于二次根式，注意倍角公式的逆用；④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；⑤利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．[活学活用]化简：(1)1cos2θ－tanθtan2θ；(2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2α·cos2β.解：(1)1cos2θ－tanθtan2θ＝1cos2θ－sinθsin2θcosθcos2θ＝cosθ－2sin2θcosθcosθcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝cos2θcos2θ＝1.(2)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)·(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.[典例]已知cosα＋π4＝35，π2≤α3π2，求cos2α＋π4的值．给值求值[解]∵π2≤α3π2，∴3π4≤α＋π47π4.∵cosα＋π40，∴3π2α＋π47π4.∴sinα＋π4＝－1－cos2α＋π4＝－1－352＝－45.∴cos2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4＝2×－45×35＝－2425，sin2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4＝1－2×352＝725.∴cos2α＋π4＝22cos2α－22sin2α＝22×－2425－725＝－31250.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，求cos2xsinπ4＋x的值．解：原式＝cos2x－sin2xsinπ4cosx＋cosπ4sinx＝2(cosx－sinx)＝2cosx＋π4＝65.2．[变条件，变设问]若本例条件变为：若x∈0，π2，sinx－π6＝35，求sin2x＋π6的值．解：由sinx－π6＝35，得sinxcosπ6－cosxsinπ6＝35，两边平方，得12sin2x＋14－34sin2x＝925，∴12·1－cos2x2＋14－34sin2x＝925，即sin2x·32＋cos2x·12＝725，∴sin2x＋π6＝725.解决条件求值问题的方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．例1已知，求，，的值.1352sin244sin4cos4tan44117-tan2C4cos,5A=tan2,B=例2在△ABC中,求的值.例3化简(sin2cos21)(sin2cos21)sin4xxxxx+--+tanx例4已知，且α∈(0，π)，求cos2α的值.1sincos3aa+=179-小结作业1.角的倍半关系是相对而言的,2α是α的两倍,4α是2α的两倍,是的两倍等等，这里蕴含着换元的思想.242.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运用，在求值问题中，要注意寻找已知与未知的联结点.3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.