3.2--简单的三角恒等变换(一)

记忆中的母亲是瘦小的，一米五左右的个子，圆脸齐耳的短发，用那年代才有的两颗细长的钢丝发夹把油油的黑发紧紧地贴耳卡着。这样的发型伴随了母亲一生。为了把我们姐妹四个养大，母亲做了二十多年的家属工，一天工钱五角到八角。为了多拿三角钱，母亲总是抢着做最累的活。回到家母亲还不能闲着，她得挑水、洗菜、做饭我们没有上过幼儿园，是母亲把我们带大的。我姐比我大六岁，我记事时，姐已经上学了。我和我的一弟一妹，在五年中相继降临了人间。印象最深的是母亲上下班时总是用背巾背着小妹，两手一边一个牵着我和我弟。弟弟小，走不动了就哭，母亲无奈就抱着小弟走，我就紧紧地拉着母亲的衣角。其实我也想让母亲抱抱我，但我没有说。母亲很勤劳，她下班早的时候就领着我们到附近的山上捡柴禾。最初的时候我只能抬一根柴，弟和妹空手走来回，到我能挑好多柴的时候，母亲也病了，再后来就双目失明了。记得那时我们家烧的柴禾都是母亲挑回来的，虽然都是细细的干树枝，但很好浇，一点就燃。我们家很贫寒，没有什么象样的家具，唯一的一张四方桌，白天用来吃饭，晚上用来写作业，我父亲在上面批文件，我母亲把它当搭板，常用来裱布帛。就这样的一张桌子因为3.2简单的三角恒等变换（一）1.巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角正弦、余弦、正切公式；2.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换；(重、难点）3.通过三角恒等变换的训练，培养转化与化归的数学思想.tantantan()1tantansin()sincoscoscoscos()coscossinsin1.两角和差的正弦、余弦、正切公式2.二倍角正弦、余弦、正切公式sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin2122tantantan学习了和(差)角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为提高我们的推理、运算能力提供了新的平台.cos22与有什么关系？那么能用的三角函数表示出来吗？222cossin,cos,tan222反之，能用表示吗？2221.cossin,cos,tan.222例试以表示2解：是的二倍角，二倍角公式的变形22cos12sin.21cossin=.22即222cos2cos121coscos.221costan=.21cos由，得即21cossin=22，21coscos.22公式说明:从左到右降幂扩角，从右到左升幂缩角.也称为降幂公式.升幂降幂1cossin,221coscos,221costan,21cos例1的结果还可以表示为：并称之为半角公式.符号由所在象限决定.2思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．42.sin,sin,cos,tan52222例已知且，试求的值.cos先求的值，再利用倍角公式的变形公式求半角的三分析：角函数值.24sin,523cos1sin.5.422解：，21cos4sin.22525sin.2521cos1cos.2255cos.25sin2tan2.2cos2和角公式的变形.1sincossinsin;2sinsin2sincos.22例3求证：（1）（2）这两个式子的左右两边结构形式上有什么不同？sinsincoscossinsinsincoscossin.证明：(1)，将以上两式的左右两边分别相加，得sinsin=2sincos.1sincossinsin.2即（２）由(1)得：sinsin2sincos,设,22那么把的值代入上式中得,sinsin2sincos.22三角变换，应注意三角函数种类和式子结构特点的变化，分析透彻.找到它们之间的联系，即学会“三看”——看角、看函数名称、看式子结构.1.在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？++=+=.2222令，利用和差角公式展开，仿照（1）求解.思考：2.在例2的证明中，用到哪种数学思想？+换元的思想，如把看作，把看作，从而把含有，的三角函数式变换成，的三角函数式.221.1cos1cos2tancos2sin22tan1cos2tantan1cos21tan2下列各式恒成立的是（）.A.=B.C.D.B2.(20122sin1cos,tan21122济南高一检测)已知则等于（）.A.2B.C.或不存在D.不存在C1+cos0tan2sinsincos2221cos0tan2coscoscos2222sincossin122.122coscos22cos当时，不存在；当时，解：1cos23..1tan2tan2xxx化简2222coscossin22sincos22xxxxx解：原式22cossin1sin2.2cos2xxxx2212sincos1tan4..cossin1tanxxxxxx求证:2222sincos2sincoscossinxxxxxx左证明：边2(sincos)cossin(cossin)(cossin)sincosxxxxxxxxxx1tan=1tanxx右边21cossin=22，21coscos.221.降幂公式2.公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用.4.换元思想.3.三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子结构.不会宽容别人的人，是不配受到别人的宽容的。——贝尔奈