高中数学复习-导数与函数单调性

第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学1．函数单调的一个充分条件设函数y＝f(x)在某个区间内可导，；．2．函数单调的必要条件设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f(x)在该区间内，则在该区间内．如果f′(x)0，则f(x)为增函数如果f′(x)0，则f(x)为减函数单调递增(或递减)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学3．求函数单调区间的一般步骤(1)确定f(x)的．(2)求导数．(3)由．当，f(x)；当时，f(x)．定义域f′(x)f′(x)0(或f′(x)0)解出相应的x的范围f′(x)0时在相应区间内是增函数f′(x)0在相应区间内是减函数第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学1．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有()A．f(x)g(b)＞f(b)g(x)B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)C．f(x)g(x)＞f(b)g(b)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)[答案]C第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学2．(2011·广州一模)函数f(x)＝ex＋e－x(e为自然对数的底数)在(0，＋∞)上()A．有极大值B．有极小值C．是增函数D．是减函数[答案]C第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学3．(2010·江西，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为()第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学[解析]当五角星匀速地升出水面，五角星露出水面的面积S(t)单调递增，则S′(t)＞0，导函数的图象要在x轴上方，排除B；当露出部分到达图中的Q点到R点之间时，S(t)增长速度变缓，S′(t)图象要下降，排除C；当露出部分在Q点上下一瞬间时，S(t)突然变大，此时在Q点处的S′(t)不存在，排除D，而A符合条件，故选A.[答案]A第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是()第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学[解析]当x－1时，xf′(x)0，∴f′(x)0，f(x)为增函数，当－1x0时，xf′(x)0，∴f′(x)0，f(x)为减函数，当0x1时，xf′(x)0，∴f′(x)0，f(x)为减函数，当x1时，xf′(x)0，f′(x)0，f(x)为增函数．第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学[答案]C[点评与警示]根据题目条件和所给图象，判断f′(x)所在区间函数值的符号，确定f(x)所在区间的单调性，大致可以确定曲线的形状．第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学当x＞0时，证明不等式：1＋2x＜e2x.[分析]假设构造函数f(x)＝e2x－1－2x.因f(0)＝e0－1－0＝0，如果能够证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以得到证明．第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学[证明]令f(x)＝e2x－1－2x，∴f′(x)＝2e2x－2＝2(e2x－1)．∵x＞0，∴e2x＞e0＝1，∴2(e2x－1)＞0，即f′(x)＞0.∴f(x)＝e2x－1－2x在(0，＋∞)上是增函数．∵f(0)＝e0－1－0＝0，∴当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，即e2x－1－2x＞0.∴1＋2x＜e2x.[点评与警示]通过构造函数，利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将x赋值，利用单调性证明不等式，这也是证明不等式的一种有效方法．第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学证明不等式：ex≥1＋x.[证明]构造函数f(x)＝ex－1－x，利用导数证明函数f(x)＝ex－1－x是增函数，即ex≥1＋x.第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学(2009·北京)设函数f(x)＝xekx(k≠0)(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．[解]本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．(1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，f(0)＝0，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学(2)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－1k(k≠0)，若k＞0，则当x∈(－∞，－1k)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x∈(－1k，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，若k＜0，则当x∈(－∞，－1k)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，当x∈(－1k，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的单调区间．[解](1)∵f′(x)＝5x4＋3ax2＋b由题设知：f′(1)＝5＋3a＋b＝0，且f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0.解得a＝－253，b＝20.第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学(2)由(1)知f′(x)＝5x4＋3ax2＋b＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0.当x∈(－2，－1)∪(1,2)时，f′(x)＜0.因此f(x)的单调增区间是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)，f(x)的单调减区间是(－2，－1)，(1,2)．第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学(2009·江西)设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．[解](1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34，即m的最大值为－34第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学(2)因为当x＜1时，f′(x)＞0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0；∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上递增，在(1,2)上递减．∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a；当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a；结合草图知，当f(2)＞0或f(1)＜0时，方程f(x)＝0仅有一个实根．解得a＜2或a＞52.∴a的取值范围是(－∞，2)∪(52，＋∞)．第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学(2010·全国Ⅰ，21)已知函数f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x.(1)当a＝时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(－1,1)上是增函数，求a的取值范围．第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学[解](1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．当a＝时，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，当x＜－2时，f′(x)＜0，当x＞－2时，f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，－2)内单调减，在(－2，＋∞)内单调增，∴在x＝－2时，f(x)有极小值．所以f(－2)＝－12是f(x)的极小值．(2)在(－1,1)上，f(x)单调增加当且仅当f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0，①(ⅰ)当a＝0时①恒成立；第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学(ⅱ)当a＞0时①成立，即3a(x＋12)2－3a4－1≤0成立，当且仅当3a·12＋3a·1－1≤0.解得a≤16.(ⅲ)当a＜0时①成立，即3a(x＋12)2－3a4－1≤0成立，当且仅当－3a4－1≤0.解得a≥－43.综上，a的取值范围是[－43，16]．第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学1．求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，再由f′(x)0(或f′(x)0)解出在定义域内相应的x的范围．2．在求含参数的函数的单调区间或判断其单调性时，应分类讨论．3．当求出函数的单调区间(如单调递增区间)有多个时，函数的单调区间不一定是这些区间的并集．4．在某一区间内f′(x)0(或f′(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学5．若可导函数y＝f(x)在(a，b)内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)而使导数f′(x)＝0的点仅有有限个，则函数y＝f(x)在(a，b)内仍是单调递增(或递减)函数．第四章导数及应用（选修·文/理）高考总复习数学