基本不等式常考解题技巧

1基本不等式一、基础知识1．（1）若Rba,，则abba222；（2）若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）．2．（1）若00a,b，则abba2；（2）若00a,b，则abba2（当且仅当ba时取“=”）；（3）若00a,b，则22baab（当且仅当ba时取“=”）．3．若0x，则12xx（当且仅当1x时取“=”）；若0x，则12xx（当且仅当1x时取“=”）；若0x，则12xx，即12xx或12xx（当且仅当ba时取“=”）．4．若0ab，则2abba（当且仅当ba时取“=”）；若0ab，则2abba，即2abba或2abba（当且仅当ba时取“=”）．5．若Rba,，则22222baba（当且仅当ba时取“=”）．二、拓展1．一个重要的不等式链：2221122abababab．2．函数0,0bfxaxabx图象及性质（1）函数0)(baxbaxxf、图象如右图所示：[来源:学科网Z（2）函数0)(baxbaxxf、性质：①值域：22,abab,；2②单调递增区间：,,,bbaa；单调递减区间：0,,,0bbaa．注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．三、基本类型对称性：“1”的代换：四、利用基本不等式求最值常用技巧技巧一：凑项已知54x，求函数14245yxx的最大值．技巧二：凑系数当04x时，求82yxx的最大值．技巧三：分离求2710(1)1xxyxx的值域．3技巧四：换元已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值．技巧五：整体代换已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值．技巧六：取平方已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值．技巧七：构造要求一个目标函数),(yxf的最值，我们利用基本不等式构造一个以),(yxf为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得),(yxf的最值．已知0,0yx，822xyyx，则yx2的最小值为技巧八：添加参数若已知0,,cba，则bcabcba2222的最小值为．