高等数学-课后习题答案第十二章

习题十二1．写出下列级数的一般项：(1)1111357；(2)22242462468xxxxx；(3)35793579aaaa；解：(1)121nUn；(2)2!!2nnxUn；(3)211121nnnaUn；2．求下列级数的和：(1)1111nxnxnxn；(2)1221nnnn；(3)23111555；解：(1)111111211nuxnxnxnxnxnxnxn从而11111211212231111111211nSxxxxxxxxxnxnxnxnxxxnxn因此1lim21nnSxx，故级数的和为121xx(2)因为211nUnnnn从而324332215443211211211221nSnnnnnnnn所以lim12nnS，即级数的和为12．(3)因为21115551115511511145nnnnS从而1lim4nnS，即级数的和为14．3．判定下列级数的敛散性：(1)11nnn；(2)11111661111165451nn；(3)23133222213333nnn；(4)311115555n；解：(1)3212111nSnnn从而limnnS，故级数发散．(2)1111111115661111165451111551nSnnn从而1lim5nnS，故原级数收敛，其和为15．(3)此级数为23q的等比级数，且|q|1，故级数收敛．(4)∵15nnU，而lim10nnU，故级数发散．4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：(1)111nnn；(2)1cos2nnnx；(3)1111313233nnnn．解：(1)当P为偶数时，122341111112311111231111112112311nnnpnnnnpUUUnnnnpnnnnpnpnpnnpnnn当P为奇数时，1223411111123111112311111112311nnnpnnnnpUUUnnnnpnnnnpnpnpnnnn因而，对于任何自然数P，都有12111nnnpUUUnn，∀ε0，取11N，则当nN时，对任何自然数P恒有12nnnpUUU成立，由柯西审敛原理知，级数111nnn收敛．(2)对于任意自然数P，都有1212121coscoscos12222111222111221121112212nnnpnnnpnnnpnpnpnUUUxnpxxnn于是，∀ε0(0ε1)，∃N=21log，当nN时，对任意的自然数P都有12nnnpUUU成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P=n，则121111113113123133213223231131132161112nnnpUUUnnnnnnnnnn从而取0112，则对任意的n∈N，都存在P=n所得120nnnpUUU，由柯西审敛原理知，原级数发散．5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．(1)111465735nn；(2)22212131112131nn(3)1πsin3nn；(4)3112nn；(5)1101nnaa；(6)1121nn．解：(1)∵21135nUnnn而211nn收敛，由比较审敛法知1nnU收敛．(2)∵221111nnnUnnnn而11nn发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵ππsinsin33limlimππ1π33nnnnnn而1π3nn收敛，故1πsin3nn也收敛．(4)∵33321112nUnnn而3121nn收敛，故3112nn收敛．(5)当a1时，111nnnUaa，而11nna收敛，故111nna也收敛．当a=1时，11limlim022nnnU，级数发散．当0a1时，1limlim101nnnnUa，级数发散．综上所述，当a1时，原级数收敛，当0a≤1时，原级数发散．(6)由021limln2xxx知121limln211nxn而11nn发散，由比较审敛法知1121nn发散．6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1)213nnn；(2)1!31nnn；(3)232333331222322nnn；(1)12!nnnnn解：(1)23nnnU，2112311limlim133nnnnnnUnUn，由比值审敛法知，级数收敛．(2)111!311limlim31!31lim131nnnnnnnnnUnUnn所以原级数发散．(3)11132limlim2313lim21312nnnnnnnnnUnUnnn所以原级数发散．(4)1112!1limlim2!1lim21122lim1e11nnnnnnnnnnnnUnnUnnnnn故原级数收敛．7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：(1)1531nnnn；(2)11ln1nnn；(3)21131nnnn；(4)1nnnba，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数．解：(1)55limlim1313nnnnnUn，故原级数发散．(2)1limlim01ln1nnnnUn，故原级数收敛．(3)121limlim1931nnnnnnUn，故原级数收敛．(4)limlimnnnnnnbbbaaa，当ba时，ba1，原级数收敛；当ba时，ba1，原级数发散；当b=a时，ba=1，无法判定其敛散性．8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1111234；(2)1111ln1nnn；(3)2341111111153535353；(4)21121!nnnn；(5)1111nnRn；(6)11111123nnnn．解：(1)111nnUn，级数1nnU是交错级数，且满足111nn，1lim0nn，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nnnUn是P1的P级数，所以1nnU发散，故原级数条件收敛．(2)111ln1nnUn，1111ln1nnn为交错级数，且11lnln12nn，1lim0ln1nn，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于11ln11nUnn所以，1nnU发散，所以原级数条件收敛．(3)11153nnnU民，显然1111115353nnnnnnU，而113nn是收敛的等比级数，故1nnU收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112limlim1nnnnnUUn．故可得1nnUU，得lim0nnU，∴lim0nnU，原级数发散．(5)当α1时，由级数11nn收敛得原级数绝对收敛．当0α≤1时，交错级数1111nnn满足条件：111nn；1lim0nn，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时111111nnnnn发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，lim0nnU，所以原级数发散．(6)由于11111123nnn而11nn发散，由此较审敛法知级数11111123nnnn发散．记1111123nUnn，则1222111111123111111112311111111231110nnUUnnnnnnnnnnnnnn即1nnUU又01111limlim12311dnnnnUnnxnx由0111limdlim01ttttxtx知lim0nnU，由莱布尼茨判别法，原级数11111123nnnn收敛，而且是条件收敛．9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．(1)1!1nnxn，x∈[-3,3]；(2)21nnxn，x∈[0,1]；(3)1sin3nnnx，x∈(-∞,+∞)；(4)1!nxnen，|x|5；(5)3521cosnnxnx，x∈(-∞,+∞)解：(1)∵3!!11nnxnn，x∈[-3,3]，而由比值审敛法可知13!1nnn收敛，所以原级数在[-3,3]上一致收敛．(2)∵221nxnn，x∈[0,1]，而211nn收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛．(3)∵1sin33nnnx，x∈(-∞,+∞)，而113nn是收敛的等比级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．(4)因为5!!nnxeenn，x∈(-5,5)，由比值审敛法可知51!nnen收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛．(5)∵53523cos1nxnxn，x∈(-∞,+∞)，而5131nn是收敛的P-级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n．都有|Un(x)|≤Vn(x)，则当1nnVx在Ⅰ上一致收敛时，级数1nnUx在这区间Ⅰ上也一致收敛．证：由1nnVx在Ⅰ上一致收敛知，∀ε0，∃N(ε)0，使得当nN时，∀x∈Ⅰ有|Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)|ε，于是，∀ε0，∃N(ε)0，使得当nN时，∀x∈Ⅰ有|Un+1(x)+Un+2(x)+…+Un+p(x)|≤V