高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习(题型完美版)

第十二讲随机变量及其分布列课程类型：□复习□预习□习题针对学员基础：□基础□中等□优秀本章主要内容：1.离散型随机变量的定义；2.期望与方差；3.二项分布与超几何分布.本章教学目标：1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)第一节离散型随机变量及其分布列【知识与方法】一．离散型随机变量的定义1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应；③数字会随着实验结果的变化而变化.2.表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．授课班级授课日期学员月日组“超几何分布”一词来源于超几何数列，就像“几何分布”来源于几何数列。几何数列又叫等比数列，“几何分布”、'几何数列名称的来源前面的文章已经解释过，请看一些带几何的数学名词来源解释。几何分布（Geometricdistribution）是离散型机率分布。其中一种定义为：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。详细的说，是：n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的机率。课外拓展3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量(discreterandomvariable).4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量奎屯王新敞新疆5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达奎屯王新敞新疆如投掷一枚硬币，0，表示正面向上，1，表示反面向上奎屯王新敞新疆（2）若是随机变量，baba,,是常数，则也是随机变量奎屯王新敞新疆二．离散型随机变量的分布列1.一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn,X取每一个值xi(i=1,2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则称表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．用等式可表示为P(X=xi)=pi，i=1,2，…，n,也可以用图象来表示X的分布列．2.离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0，i=1,2，…，n；②11niip．三．两个特殊分布1.两点分布),1(~PBXX01P1-pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率．2.超几何分布),,(~nMNHX一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=nNknMNkMCCC，k=0,1,2，…，m，其中m=minnM,，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mPnNnMNMCCC00nNnMNMCCC11…nNmnMNmMCCC如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出奎屯王新敞新疆分布列的优缺点：[优点]离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况．[缺点]（1）分布列不能表示X的平均水平；(2)分布列不能表示X的波动程度．注意：随机变量X只有发生和不发生两种情况才叫两点分布，且X的取值只能是0和1.【例题与变式】题型一随机变量【例1】判断正误：(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．()(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．()【例2】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；(2)2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1000cm3的球的半径长．【变式1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64cm3的正方体的棱长．【例3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【变式2】下列变量中属于离散型随机变量的有________．(填序号)(1)在2017张已编号的卡片(从1号到2017号)中任取1张，被取出的编号数为X；(2)连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；(3)在广州至武汉的电气化铁道线上，每隔50m有一电线铁塔，从广州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；(4)投掷一枚骰子，六面都刻有数字8，所得的点数X.题型二随机变量的可能取值及试验结果【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，则X的所有可能取值有哪些？【例2】（2017春•清河区月考）设b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．设随机变量ξ=|b-c|，求随机变量ξ的取值情况．【变式】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，列出所得分数X的所有可能.题型三分布列及其性质的应用【例1】设随机变量X的分布列为P(X=i)=ia(i=1,2,3,4)，求：(1)P(X=1或X=2)；(2))2721(XP.【例2】（2017春•文昌月考）设随机变量X的分布列为,5,4,3,2,1,25)(ikiXP则)2521(XP等于（）A．152B．52C．51D．151【例3】已知数列na是等差数列，随机变量X的分布列如下表：X1x2x3x4x5xP1a2a3a4a5a求3a.【变式1】若离散型随机变量X的分布列为：X01P14aaa23求常数a．【变式2】（2017春•秦都区月考）设随机变量X的分布列为,3,2,1,)32()(iaiXPi，则a的值为（）A．3817B．3827C．1917D．1927【变式3】（2017春•武陵区月考）若离散型随机变量X的分布列为：X01Paa210a62则实数a的值为_______．【例4】设离散型随机变量X的分布列为：X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X+1的分布列；(2)|X-1|的分布列.【变式4】(2017·南宁二模)设随机变量X的概率分布列如下表，则P(|X-2|=1)=（）X1234P6141m31A.712B.12C.512D.16题型四求离散型随机变量的分布列【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．【例2】（2017春•清河区月考）设b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．(1)设RxcbxxxA,022，求A的概率；(2设随机变量ξ=|b-c|，求ξ的分布列．【例3】(2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列.【变式1】将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.题型五两点分布【例1】(1)利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？(2)只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【例2】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列.【变式】设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ=0)等于（）A．0B．13C．12D．23题型六超几何分布【例1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客乙从10张奖券中任意抽取2张.(1)求顾客乙中奖的概率；(2)设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．【例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布；(2)他能及格的概率.【例3】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，求：(1)列出所得分数X的分布列；(2)得分大于6分的概率．【变式1】(2017·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.【变式2】(2017·昆明调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25，35](35，45](45，55](55，65](65，75](75，85]频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列.1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X-101P132-3qq2则q的值为()A.1B.32±336C.32－336D.32＋3362.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X=0)等于()A.0B.12C.13D.233.中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A.ξ=4B.ξ=5C.ξ=6D.ξ≤54.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是()A.435B.635C.1235D.363435.随机变量X的分布列如下