2.3.1离散型随机变量的均值(第一课时)

一、引入1.离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为：x1，x2，…，xi，…，xnX取每一个xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=Pi，则称表：Xx1x2…xi…PP1P2…Pi…为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.分布列的性质:0,1,2,ipi（1）≥1211ninipppp（2）2.几种常见的分布列：X01P(1)两点分布：在一次试验中，如果事件A只有发生与不发生两种结果，则称事件A发生的次数X服从两点分布.p1-p(2)超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中任取n件，其中恰有X件次品数，则称随机变量X服从超几何分布.X01…mP…00nMNMnNCCC11nMNMnNCCCmnmMNMnNCCC（3）二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，若事件A每次发生的概率都是p，则称事件A发生的次数X服从二项分布.X01…k…nP……00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq记作X~B(n,p)思考1：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售，试回答下列问题:(1)从这种混合糖果中随机摸一颗，则摸到这3种类型的糖果的概率分别是多少？(2)如何对混合糖果定价才合理？分析：（2）按比例，在1kg的混合糖果中，这3种糖果的质量分别是故1kg混合糖果的合理价格是111236kgkgkg，，11118243623(/)236kg元思考2：某射手射击所得环数X的分布列如下：你能估计该射手进行n次射击，平均每次能打的环数吗？分析：在n次射击中，中4环的大约有0.02n次中5环的大约有0.04n次……中10环的大约有0.22n次故平均每次能打的环数为40.0250.04100.22nnnn=4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22＝8.32.X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22二、基础知识讲解1.离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…为X的均值或数学期望，数学期望又简称为期望．Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…它反映了离散型随机变量取值的平均水平.探究：设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．(1)Y分布列是什么？(2)EY=？Xx1x2…xi…YPax1+bax2+b…axi+b…p1p2…pi…设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．其分布列为探究：设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．(2)EY=？∵EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…∴EY＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…)＋b(p1＋p2＋…+pi＋…)＝aEX＋b．即E(aX＋b)＝aEX＋bXx1x2…xi…YPax1+bax2+b…axi+b…p1p2…pi…2.离散型随机变量的均值的性质：E(aX＋b)＝aEX＋b三、例题分析例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分X的期望.解：依题意，P(X=1)=0.7，P(X=0)=0.3，∴EX=1×P(X=1)＋0×P(X=0)=1×0.7＋0×0.3=0.7一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么EX=1×p+0×(1-p)=p于是有若X服从两点分布，则EX=pX10P0.70.3则X的分布列为：3.两点分布的均值：若X服从两点分布，则EX=p例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚2次球的得分X的期望.解：依题意可知，X~B(2，0.7)2(0)0.30.09PX12(1)0.70.30.42PXC2(2)0.70.49PX00.0910.4220.491.4EX∴该运动员得分的期望为思考：你能找出该期望值1.4与这个二项分布X~B(2,0.7)之间的规律吗？2×0.7=1.4二项分布的数学期望：11knknnCkC根据001112220012nnnnnnkknknnnnEXCpqCpqCpqkCpqnCpq0111221111101nnkknknnnnnnEXnCpqnCpqnCpqnCpq001112111111101()nnkknknnnnnnnpCpqCpqCpqCpq………Pnk…10X00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq=np(p+q)n-1=np若X～B(n，p)，则EX＝np4.二项分布的均值：若X服从二项分布，则EX=np解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择了正确答案的选择题个数分别是X1和X2，则X1～B(20，0.9)，X2～B(20，0.25)，所以EX1=20×0.9＝18，EX2＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2．所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5X1)＝5EX1＝5×18＝90，E(5X2)＝5EX2＝5×5＝25．例3.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分．学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个．求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值．方法二:先求解解答一个选择题的得分的期望，再乘以20即可.例3.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分．学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个．求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值．四、针对性训练创新设计P47~48课后优化训练五、小结巩固掌握离散型随机变量的均值的概念、性质及计算:1.离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…为X的均值或数学期望，数学期望又简称为期望．Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…它反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.离散型随机变量的均值的性质：E(aX＋b)＝aEX＋b3.两点分布的均值：若X服从两点分布，则EX=p4.二项分布的均值：若X服从二项分布，则EX=np六、布置作业作业:课本P69习题2.3A组1.3.练习:创新设计P47～48课后优化训练创新设计习题讲评：P655.～7.答案：1.2.2)sin()sin()(180sin)sin(aaAC3.用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为()A．285cmB．2610cmC．2355cmD．220cm