同济大学---高数上册知识点

高等数学（上）知识点第1页共12页高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(xf在0x连续)()(lim00xfxfxx第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二）极限1、定义1）数列极限axNnNaxnnn,,,0lim2）函数极限AxfxxxAxfxx)(0,,0,0)(lim00时，当高等数学（上）知识点第2页共12页左极限：)(lim)(00xfxfxx右极限：)(lim)(00xfxfxx)()()(lim000xfxfAxfxx存在2、极限存在准则1）夹逼准则：1）)(0nnzxynnn2）azynnnnlimlimaxnnlim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小（大）量1）定义：若0lim则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1)(~o;Th2limlimlim,~,~存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a)1sinlim0xxxb)exxxxxx)11(lim)1(lim105）无穷小代换：（0x）a)xxxxxarctan~arcsin~tan~sin~高等数学（上）知识点第3页共12页b)221~cos1xxc)xex~1（axaxln~1）d)xx~)1ln(（axxaln~)1(log）e)xx~1)1(二、导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx左导数：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx右导数：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx函数)(xf在0x点可导)()(00xfxf2、几何意义：)(0xf为曲线)(xfy在点)(,00xfx处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；高等数学（上）知识点第4页共12页7）对数求导法.5、高阶导数1）定义：dxdydxddxyd222）Leibniz公式：nkknkknnvuCuv0)()()(（二）微分1）定义：)()()(00xoxAxfxxfy，其中A与x无关.2）可微与可导的关系：可微可导，且dxxfxxfdy)()(00三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、Rolle罗尔定理：若函数)(xf满足：1）],[)(baCxf；2）),()(baDxf；3）)()(bfaf；则0)(),,(fba使.2、Lagrange拉格朗日中值定理：若函数)(xf满足：1）],[)(baCxf；2）),()(baDxf；则))(()()(),,(abfafbfba使.3、Cauchy柯西中值定理：若函数)(),(xFxf满足：1）],[)(),(baCxFxf；2）),()(),(baDxFxf；3）),(,0)(baxxF则)()()()()()(),,(FfaFbFafbfba使高等数学（上）知识点第5页共12页（二）洛必达法则（三）Taylor公式（四）单调性及极值1、单调性判别法：],[)(baCxf，),()(baDxf，则若0)(xf，则)(xf单调增加；则若0)(xf，则)(xf单调减少.2、极值及其判定定理：a)必要条件：)(xf在0x可导，若0x为)(xf的极值点，则0)(0xf.b)第一充分条件：)(xf在0x的邻域内可导，且0)(0xf，则①若当0xx时，0)(xf，当0xx时，0)(xf，则0x为极大值点；②若当0xx时，0)(xf，当0xx时，0)(xf，则0x为极小值点；③若在0x的两侧)(xf不变号，则0x不是极值点.c)第二充分条件：)(xf在0x处二阶可导，且0)(0xf，0)(0xf，则①若0)(0xf，则0x为极大值点；②若0)(0xf，则0x为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点1）)(xf在区间I上连续，若2)()()2(,,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I上的图形是凹的；若2)()()2(,,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I上的图形是凸的.2）判定定理：)(xf在],[ba上连续，在),(ba上有一阶、二阶导数，则a)若0)(),,(xfbax,则)(xf在],[ba上的图形是凹的；b)若0)(),,(xfbax,则)(xf在],[ba上的图形是凸的.3）拐点：设)(xfy在区间I上连续，0x是)(xf的内点，如果曲线)(xfy经高等数学（上）知识点第6页共12页过点))(,(00xfx时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00xfx为曲线的拐点.（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）.（六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线1、铅直渐近线：)(limxfax，则ax为一条铅直渐近线；2、水平渐近线：bxfx)(lim，则by为一条水平渐近线；3、斜渐近线：kxxfx)(limbkxxfx])([lim存在，则bkxy为一条斜渐近线.（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数)(xF可导，且)()(xfxF，则)(xF称为)(xf的一个原函数.高等数学（上）知识点第7页共12页2、不定积分：在区间I上，函数)(xf的带有任意常数的原函数称为)(xf在区间I上的不定积分.3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：)()(d)()]([xuduufxxxf2、第二类换元法（变量代换）：)(1d)()]([)(xttttfdxxf（三）分部积分法：vduuvudv（四）有理函数积分1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：niiibaxfdxxf10)(lim)(2、性质：（7条）性质7（积分中值定理）函数)(xf在区间],[ba上连续，则],[ba，使))(()(abfdxxfba（平均值：abdxxffba)()(）高等数学（上）知识点第8页共12页（二）微积分基本公式（N—L公式）1、变上限积分：设xadttfx)()(，则)()(xfx推广：)()]([)()]([)()()(xxfxxfdttfdxdxx2、N—L公式：若)(xF为)(xf的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba（三）换元法和分部积分1、换元法：tttfdxxfbad)()]([)(2、分部积分法：bababavduuvudv（四）反常积分1、无穷积分：tatadxxfdxxf)(lim)(bttbdxxfdxxf)(lim)(00)()()(dxxfdxxfdxxf2、瑕积分：btatbadxxfdxxf)(lim)(（a为瑕点）tabtbadxxfdxxf)(lim)(（b为瑕点）两个重要的反常积分：高等数学（上）知识点第9页共12页1)1,11,d1ppapxxpap2)1,1,1)()(d)(d1qqqabxbxaxxqbaqbaq六、定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：badxxfxfA)]()([122、极坐标：dA)]()([212122高等数学（上）知识点第10页共12页（二）体积1、旋转体体积：a)曲边梯形xbxaxxfy,,),(轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：baxdxxfV)(2b)曲边梯形xbxaxxfy,,),(轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积：baydxxxfV)(2（柱壳法）2、平行截面面积已知的立体：badxxAV)(（三）弧长1、直角坐标：badxxfs2)(12、参数方程：dttts22)()(3、极坐标：ds22)()(七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.高等数学（上）知识点第11页共12页（二）变量可分离的方程dxxfdyyg)()(，两边积分dxxfdyyg)()(（三）齐次型方程)(xydxdy，设xyu，则dxduxudxdy；或)(yxdydx，设yxv，则dydvyvdydx（四）一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy用常数变易法或用公式：CdxexQeydxxPdxxP)()()(（五）可降阶的高阶微分方程1、)()(xfyn，两边积分n次；2、),(yxfy（不显含有y），令py，则py；3、),(yyfy（不显含有x），令py，则dydppy（六）线性微分方程解的结构1、21,yy是齐次线性方程的解，则2211yCyC也是；2、21,yy是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211yCyC是方程的通解；3、*2211yyCyCy为非齐次方程的通解，其中21,yy为对应齐次方程的线性无关的解，*y非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0qyypy高等数学（上）知识点第12页共12页特征方程：02qprr，特征根：21,rr特征根通解实根21rrxrxreCeCy2121221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx（八）常系数非齐次线性微分方程)(xfqyypy1、)()(xPexfmx设特解)(*xQexymxk，其中是重根是一个单根不是特征根,λ,λ,λk2102、xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(设特解xxRxxRexymmxksin)(cos)()2()1(*，其中},max{nlm，是特征根不是特征根iik,1,0