离散型随机变量的分布列习题课精品课件

•2．1.2离散型随机变量的分布列习题课复习旧知识•1．离散型随机变量的分布列•(1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn•那么上表称为离散型随机变量X的，简称为．•2、表示：•分布列可用、、表示．概率分布列X的分布列表格法解析法图象法•3、性质：离散型随机变量的分布列具有如下性质：•①pi0，i＝1,2，…，n；(非负性)•②＝.（之和是必然事件）≥1•4、求离散型随机变量的分布列的步骤：•①找出随机变量ξ的所有可能取值xi(i＝1、2、3、…、n)；•②•③列成表格．≥求出取各值的概率P(X＝xi)＝pi•5．两个特殊分布列X01P1—pp(1)、两点分布列象上面这样的分布列称为两点分布列。如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。•．两点分布又称0～1分布，须注意并不是只取两个值的随机变量就服从两点分布，如随机变量ξ的分布列如下表ξ23P0.30.7它就不是两点分布，但经过适当变换后，它可以变为两点分布．如令y＝0ξ＝21ξ＝3，则随机变量y服从两点分布，分布列为：y01P0.30.7在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.解：（1）从100件产品中任取3件结果数为3100,C从100件产品中任取3件，其中恰有K件次品的结果为3595kkCC那么从100件产品中任取3件，其中恰好有K件次品的概率为35953100(),0,1,2,3kkCCpXkkCX0123P035953100CCC125953100CCC215953100CCC305953100CCC•(2)超几何分布列•一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝•，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，称分布列•为．•如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X．超几何分布列服从超几何分布典型题目分析•1、随机变量ξ的分布列为以下表格形式，如何求实数a的值？ξ01P9a2－a3－8a[解析]由离散型随机变量的分布列的性质可知：2、袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝0两球全红1两球非全红.求X的分布列．•[分析]由题目可获取以下主要信息：•①袋内白球和红球的个数；•②随机变量X的取值．•解答本题可先根据题设条件求出P(X＝0)，再由二点分布的性质求出P(X＝1)，列出表格即可．•[点评]二点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题时，应先分析变量是否满足二点分布的条件，然后借助概率的知识，给予解决．•3、在掷骰子试验中，有6种可能结果，如果我们只关心出现的点数是否小于4，问如何定义随机变量η，才能使η满足两点分布，并求其分布列．[解析]随机变量η可以定义为：η＝1掷出点数小于40掷出点数不小于4显然η只取0,1两个值．且P(η＝1)＝P(掷出点数小于4)＝36＝12，故η的分布列为η01P1212•4、某产品40件，其中有次品3件，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品数ξ的分布列．•[分析]ξ的所有取值为0,1,2,3，事件“ξ＝k”表示“3件产品中恰有k件次品”(k＝0,1,2,3)(“ξ＝0”等价于“3件全是正品”)，符合超几何分布，分别计算P(ξ＝k)，列出分布列．[解析]ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C337C340＝777988，P(ξ＝1)＝C237C13C340＝9994940，P(ξ＝2)＝C137C23C340＝1119880，P(ξ＝3)＝C037C33C340＝19880.于是所得ξ的分布列如下表：ξ0123P77798899949401119880198805、对于下列分布列有P(|ξ|＝2)＝________.ξ－202Pa35c解析：P(|ξ|＝2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝－2)＝a＋c＝1－35＝25.答案：256、已知随机变量的分布列如下：P－2－13210121611213141121分别求出随机变量⑴21122；⑵的分布列．解：且相应取值的概率没有变化∴的分布列为：1P－11012161121314112121212311⑴由211可得的取值为、21、0、21、1、231解：∴的分布列为：2⑵由可得2的取值为0、1、4、9222(1)(1)(1)PPP2(0)(0)PP3111412312(4)(2)(2)PPP11126412(9)(3)PP121P09412131411312巩固训练•一、选择题•1．如果X表示一个离散型随机变量，那么下列命题中不正确的是()•A．X取每一个可能值的概率都是非负实数•B．X取所有可能值的概率之和为1•C．X取某两个可能值的概率等于分别取这两个值的概率之和•D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和•[答案]D•[解析]本题主要考查离散型随机变量的定义及分布列的有关性质，X取每一个值的概率都在0到1之间，分布列中所有可能值的概率之和为1，X取每一个可能的值之间是互斥的，故A，B，C正确，D不正确．[解析]∵ξ是等可能地取值，∴P(ξ＝k)＝1n(k＝1,2，…，n)，∴P(ξ4)＝3n＝0.3，∴n＝10.•2．设随机变量的等可能取值1,2,3，…，n如果P(ξ4)＝0.3，那么()•A．n＝3B．n＝4•C．n＝10D．n不能确定•[答案]C3．设离散型随机变量ξ的概率分布如下表：ξ1234Pi161316p则p的值为()A.12B.16C.13D.14•[答案]C•[解析]对于离散型随机变量分布列中的参数的确定，应根据随机变量取所有值时的概率和等于1来确定，故选C.二、填空题4．随机变量η的分布列如下表：η123456P0.2x0.350.10.150.2则①x＝________；②P(η3)＝________；③P(1η≤4)＝________.•[答案]00.450.45•[解析]①由分布列的性质得：0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0；②P(η3)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；③P(1η≤4)＝P(η＝2)＋P(η＝3)＋P(η＝4)＝0＋0.35＋0.1＝0.45.5．某同学计算得一离散型随机变量ξ的分布列如下表：ξ－101P121416试说明该同学的计算结果是________的(填“正确”或“错误”)．[解析]这是因为12＋14＋16＝11121.不满足概率之和为1这条性质．•[答案]错误三、解答题6．设随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝i)＝i10(i＝1,2,3,4)，求：(1)P(ξ＝1或ξ＝2)；(2)P12ξ72.[解析](1)P(ξ＝1或ξ＝2)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝110＋210＝310.(2)P12ξ72＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝110＋210＋310＝35.作业1、利用分布列的性质确定分布列．设随机变量X的分布列P(X＝k5)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X≥35)；(3)求P(110X710)．【思路点拨】利用概率和为1，求a；借助互斥事件求(2)(3)两问．【解】(1)由P(X＝k5)＝ak，k＝1,2,3,4,5可知k＝15P(X＝k5)＝k＝15ak＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115.(2)由(1)可知P(X＝k5)＝k15(k＝1,2,3,4,5)，∴P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45.(3)P(110X710)＝P(X＝15)＋P(X＝25)＋P(X＝35)＝115＋215＋315＝25.2、对于下列分布列有P(|ξ|＝2)＝________.ξ－202Pa35c解析：P(|ξ|＝2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝－2)＝a＋c＝1－35＝25.答案：253、两点分布是一种特殊的分布，随机变量只能取0,1.一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，记X＝0两球全红1两球非全红，求X的分布列．【思路点拨】由X＝0两球全红1两球非全红可知随机变量X服从两点分布．【解】∵X服从两点分布，则P(X＝0)＝C26C211＝311，P(X＝1)＝1－311＝811.∴X的分布列为X10P8113113、在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．【思路点拨】本题可利用超几何分布求解．【解】(1)法一：P＝1－C04C26C210＝1－13＝23.法二：P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.即该顾客中奖的概率为23.(2)X所有可能的取值为(单位：元)：0,10,20,50,60，且P(X＝0)＝C04C26C210＝13；P(X＝10)＝C13C16C210＝25；P(X＝20)＝C23C210＝115；P(X＝50)＝C11C16C210＝215；P(X＝60)＝C11C13C210＝115.故X的分布列为X010205060P1325115215115【误区警示】抽取2张没有先后顺序，用组合数来计算概率，不用排列数．4、已知随机变量的分布列如下：P－2－13210121611213141121分别求出随机变量⑴21122；⑵的分布列．解：且相应取值的概率没有变化∴的分布列为：1P－11012161121314112121212311⑴由211可得的取值为、21、0、21、1、231已知随机变量的分布列如下：P－2－13210121611213141121分别求出随机变量⑴21122；⑵的分布列．解：∴的分布列为：2⑵由可得2的取值为0、1、4、9222(1)(1)(1)PPP2(0)(0)PP3111412312(4)(2)(2)PPP11126412(9)(3)PP121P09412131411312