第3节-辐角原理及其应用

1DepartmentofMathematics第三节辐角原理及应用2一、对数留数1.定义具有下列形式的积分:1()d2()fzzifz().fz称为关于曲线的对数留数说明:1)对数留数即函数f(z)的对数的导数)()(zfzf2)函数f(z)的零点和奇点都可能是)()(zfzf的奇点..在内弧立奇点处的留数的代数和32.引理6.4()(1)(),(),fzafznafz设为的阶零点则必为的一阶极点并且()Re[];()zafzsnfz()(2)(),(),fzbfzmbfz设为的阶极点则必为的一阶极点并且()Re[].()zbfzsmfz证明(1)(),afzna若为的阶零点则在点的邻域内有()()(),nfzzagz(),()0.gzaga其中在点的邻域内解析且于是4'1'()()()()(),nnfznzagzzagz'()();()()fzngzfzzagz'(),()gzagz由于在点的邻域内解析()()fzafz故必为的一阶极点,且()Re[].()zafzsnfz(2)(),bfzmb若为的阶极点则在点的邻域内有()(),()mhzfzzb()()(),nfzzagz5(),()0.hzbhb其中在点的邻域内解析且于是''1()()(),()()mmmhzhzfzzbzb'()();()()fzmhzfzzahz'(),()hzbhz由于在点的邻域内解析()()fzbfz故必为的一阶极点,且()Re[].()zbfzsmfz()(),()mhzfzzb63.定理6.9,()Cfz设是一条周线符合条件(1)(),fzC在的内部是亚纯的(),fzC(2)在上解析且不为零1()2()Cfzdzifz则有()fzC在内的零点个数()fzC在内的极点个数(,)NfC(,).PfC注意:m阶零点或极点算作m个零点或极点.7证明由第五章习题(二)14可知,(),fzC在的内部至多只有有限个零点和极点(1,2,,)(),;kkakpfzCn设为在内部的不同零点其阶相应地为(1,2,,)(),;jjbjqfzCm设为在内部的不同极点其阶相应地为由引理6.4可知,()()(1,2,,)(1,2,,),kjfzCCCfzakpbjq在的内部及上除去在内部有一阶极点及外均解析8故由留数定理及引理6.4得,1()2()Cfzdzifz1()Re[]()kpzakfzsfz1()Re[]()jqzbjfzsfz1pkkn1()qjjm(,)NfC(,).PfC9例1计算积分91041.21zzdziz解10()1,fzz设()4,fzz则在上解析且不等于零()4,10,fzz在内部解析有个零点故9104121zzdziz10'10411(1)1021zzdziz1{(,)(,)}10NfCPfC1{100}101.10二、辐角原理()wfz经变换的像为Cz)(zfw.wArg()wfz1.对数留数的几何意义:()()(),Cztt围线:(())()()();wfttt111()d2π()Cfzzifz12,2,0.iwi由于沿任意一条围绕原点的周线正向积分为负向积分为任意一不围绕原点的周线积分为'1(())()dt2π(())fttift'1()dt2π()tit12dwiw12dwiw从而为围绕原点的正向圈数与负向圈数的代数和绕原点的圈数.arg()(),CfzzCfz用表示当沿一周时的辐角改变量则1arg().2Cfz122．辐角原理6.9,(),,arg()arg()2,CfzCzCfzfz在定理条件下在周线内部的零点个数与极点个数之差等于当沿正向绕行一周后的改变量除以即1(,)(,)arg().2CNfCPfCfz注(),(),fzCCfzC若在上及内解析且在上不为零则1(,)arg().2CNfCfz13例2试验证辐角原理.2()(1)(2)(4):3fzzzzCz设解(),fzz在平面解析C且在内有1,2,zz一阶零点二阶零点(,)3,NfCzC当沿转一周时,有arg()fzC2arg(1)arg(2)arg(4)zzzCCC22206.则arg()2fzC623(,)NfC012zyx34C14注(),,()0,fzCCfz若定理6.9条件(2)减弱为连续到边界且沿则辐角原理仍成立'',(),CCCfzC在内取内含在内部全部零点和极点则(,)(,)NfCPfC''(,)(,)NfCPfC'arg()2Cfzarg()2fzC15例3n设次多项式1010()(0)nnnPzazazaa,Re0Z在虚轴上无零点试证它的零点全在左半平面内的充要条件是()arg().yPiyn,().2zPzn即当点自下而上沿虚轴从点走向点的过程中绕原点转圈16()Re0Pzz于是的零点全在左半平面内的充要条件是(,)0,RNfCR成立故0limarg()RCRPz()limarg()limarg()RRRRRPzPiy而arg()RPz0arg(1())Rnazgz0argRnazarg(1())Rgz证明RC令周线由:22iRzRe,RiRi及虚轴上从到的有向线段所构成xyRiRRiR017所以limarg(1())0,RRgz0argRnaz另一方面又有0[]22argninaRe,n故()arg()yPiy().RRgz在时沿一致趋于零110(),nnnazagzaz其中()limarg()limarg()0RRRRRPzPiylimarg()RRPz,n从而,n18三、儒歇(Rouche)定理1定理6.10,()()Cfzz设是一条周线函数及满足条件(1),;CC它们在的内部均解析且连续到()()())fzfzzC则函数与在的内部有同样多(几阶算几个的零点,即(2)()();Cfzz在上(,)(,).NfCNfC证明()()(),fzfzzC由假设知,及在内解析,C且连续到()();Cfzz且在上满足条件C故在上有()0,fz()()fzz()()0,fzz19()()()6.9,fzfzz从而及满足定理及注条件,C由于这两个函数在内解析于是由辐角原理1arg(()())2Cfzz(,),NfC1arg()2Cfz(,);NfC而arg(()())Cfzzarg()Cfz()arg(1),()Czfz由条件(2),,zC当沿变动时()1()zwzfz将平面上的,Cw周线变成平面上的闭曲线由于20()11,()zwfz11,w故在圆周的内部0w而原点不在0,ww即不会绕原点绕行故()arg(1)0,()Czfz,此圆周的内部arg(()())Cfzz即arg()Cfz故(,)(,).NfCNfCC0zargw0ww21()1()zwfz21如742()514.Pzzzzzz在内有个根证明4()5,fzz令72(),zzzz()(),fzzz则及在平面解析1z且在上72()3zzzz4()55,fzz(,)(,)NPCNfC4.一般情况下有22例4n设次多项式10110()0(0)nnnnPzazazazaa符合条件011tttnaaaaa()1.Pzznt则在单位圆内有个零点证明(),nttfzaz取11011(),nttttnzazazaza1z则在上有11011()nttttnzazazaza011ttnaaaata(),fz,Rouche由定理()()1,.Pzfzznt与在内有相同零点个数即个23例5,RneaR如果试证方程(zneazn为正整数).zRn在圆内恰有个根证明令(),(),nzfzazze()(),fzzz则及在平面解析zR且在上有Re|()|||,zzzRzeeee|()|||,nnfzazaR,RneaR由有:()();CzRfzz在上(,)(,)NfCNfCn故.zneazzRn即在圆内恰有个根24例6n任一次方程)0(001110aazazazannnn证明代数学基本定理:.n有且仅有个根(几重根算几个根)证明,)(0nzazf令111(),nnnzazaza:CzR在充分大圆周上110({,1})nnaaaRMaxa111()nnnzaRaRa11()nnaaR0naR(),fz,Rouche由定理(,)(,)NfCNfC,n25000(0)nnazaazRn即在内有个根.,zR在圆周外部0,,zzRR则于是0nnaza1011nnnnazazaza00naR11()nnaRa00naR110()nnaaR00naR00naR0,,zR即方程在外部无根.zn故原方程在平面上有且仅有个根26例74510zz试确定方程12.z在圆环内根的个数解1()5,fzz(1)设41()1,zz11()(),fzzz则及在平面解析1:1Cz且在上有1()z41z251(),fz5z11111(,)(,)NfCNfC所以1,45101.zzz即方程在内有一个根42(),fzz(2)设2()51,zz22()(),fzzz则及在平面解析272:2Cz且在上有2()z51z112(),fz4z1622222(,)(,)NfCNfC所以4,45102.zzz即方程在内有四个根(3)1z而在上有451zz5z41z5230,41510.zzz即在上方程无根451012.zzz故方程在内有三个根28下面给出单叶解析变换的一个重要性质2定理6.11121212(1),,()();()(2)();zzDzzfzfzwfzzDfzD单叶解析在内解析'(),()0.fzDDfz若函数在区域内单叶解析则在内证明'00,()0,zDfz若使00()()(2),zfzfznn则必为的级零点由零点孤立性,00,:,Czz在上0()()0,fzfz'00,()()(),Cfzfzfzz在内部及无异于零点290inf{()()},zCmfzfz令,0,aamRouche取使由定理0()(),fzfzaCn则在内亦只有个零点但这些零点无一为重点,'()fzC理由是在内00()(),zfzfza而显然非的零点0,z除外无其它零点120,,,()(),nzzzfzfzaCn故令为在内个相异零点0()()1,2,,,kfzfzakn则(),fzD这与在区域内单叶性相矛盾'()0.Dfz故在内30作业•P273习题(一)11,12,13,14,•P276习题(二)1331本节结束谢谢！ComplexFunctionTheoryDepartmentofMathema