专题14-锐角三角函数(第01期)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)

专题14锐角三角函数1．（2019•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=25，则此斜坡的水平距离AC为A．75mB．50mC．30mD．12m【答案】A【解析】∵∠BCA=90°，tan∠BAC=25，BC=30m，∴tan∠BAC=25＝BCAC＝30AC，解得AC=75，故选A．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用–坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【答案】C【解析】如图，过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=OFDF，∴OF=xtan65°，∴BF=3+x，∵tan35°=OFBF，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5，∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65≈4.7，故选C．【名师点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．3．（2019•甘肃）在△ABC中，∠C=90°，tanA=33，则cosB=__________．【答案】12【解析】∵tanA=33，∴∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=12．故答案为：12．【名师点睛】在解决解直角三角形形的问题中，牢记特殊角的三角函数值可以快速准确解题．4．（2019•杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=__________．【答案】32或255【解析】若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC=22(2)xx=3x，所以cosC=3322BCxACx；若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC=22(2)5xxx，所以cosC=22555ACxBCx；综上所述，cosC的值为32或255．故答案为：32或255．【名师点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．5．（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）．【答案】隧道BC长为700米．【解析】如图，在Rt△ABD中，AB=AD=600，作EM⊥AC于M，则AM=DE=500，∴BM=100，在Rt△CEM中，tan53°=CMEM=600CM=43，∴CM=800，∴BC=CM–BM=800–100=700（米）．答：隧道BC长为700米．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用–仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．6．（2019•海南）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．（1）填空：∠BAC=__________度，∠C=__________度；（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．【答案】（1）30，45；（2）观测站B到AC的距离BP为（53–5）海里．【解析】（1）由题意得：∠BAC=90°–60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠C=180°–∠BAC–∠ABC=45°；故答案为：30，45；（2）∵BP⊥AC，∴∠BPA=∠BPC=90°，∵∠C=45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP=PC，∵∠BAC=30°，∴PA=3BP，∵PA+PC=AC，∴BP+3BP=10，解得BP=53–5．答：观测站B到AC的距离BP为（53–5）海里．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用–方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．7．（2019•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73）【答案】炎帝塑像DE的高度约为51m．【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，∴tan∠CAE=CEAC，∴AC=tan34CE=550.67≈82.1（m），∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m），在Rt△BCD中，tan60°=CDBC=3，∴CD=3BC≈1.73×61.1≈105.7（m），∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）.答：炎帝塑像DE的高度约为51m．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．8．（2019•甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【解析】如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．9．（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）【答案】（1）①160；②投影探头的端点D到桌面OE的距离为27cm；（2）当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，∠ABC的大小为33.2°．【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF=AB•sin∠ABF=30sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27（cm）；（2）过点DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm，∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21（cm），∴sin∠MBC=CMBC=2135=0.6，∴∠MBC=36.8°，∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°．【名师点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．10．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）【答案】点C到弦AB所在直线的距离为6.64米．【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=3（米），在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，∴cos41.3°=ADOA，即OA=3cos41.3=30.75=4（米），tan41.3°=ODAD，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64（米），则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）．【名师点睛】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．11．（2019•吉林）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【答案】花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．【解析】如图，过点C作CF⊥AB于F，则∠AFC=90°，在Rt△ACF中，AC=30，∠CAF=43°，∵cos∠CAF=AFAC，∴AF=AC•cos∠CAF=30×0.73=21.9，∴CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9≈192（cm）．答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．【名师点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．12．（2019•新疆）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）【答案】（1）海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为402海里；（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．【解析】（1）作PC⊥AB于C，如图所示：则∠PCA=∠PCB=90°，由题意得：PA=80，∠APC=45°，∠BPC=90°-30°=60°，∴△APC是等腰直角三角形，∠B=30°，∴AC=PC=22PA=402．答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为402海里；（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处，理由如下：∵∠PCB=90°，∠B