文科三角函数解答题教师版(有答案)

第1页共10页三角函数解答题一．考查三角函数的图象和性质，三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、对称1.设函数22()cos(2)sin24fxxx.（I）求函数()fx的最小正周期；（II）设函数()gx对任意xR，有()()2gxgx，且当[0,]2x时，1()()2gxfx，求函数()gx在[,0]上的解析式.本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力.【解析】22111()cos(2)sincos2sin2(1cos2)24222fxxxxxx11sin222x，（I）函数()fx的最小正周期22T（II）当[0,]2x时，11()()sin222gxfxx当[,0]2x时，()[0,]22x11()()sin2()sin22222gxgxxx当[,)2x时，()[0,)2x11()()sin2()sin222gxgxxx得函数()gx在[,0]上的解析式为1sin2(0)22()1sin2()22xxgxxx.2.函数()sin()16fxAx（0,0A）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2，（1）求函数()fx的解析式；（2）设(0,)2，则()22f，求的值.【解析】（1）∵函数fx的最大值是3，∴13A，即2A.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2，∴最小正周期T，∴2.故函数fx的解析式为()2sin(2)16fxx.（2）∵()2f2sin()126，即1sin()62，∵02，∴663，∴66，故3.3..设426f(x)cos(x)sinxcosx，其中.0第2页共10页（Ⅰ）求函数yf(x)的值域（Ⅱ）若yf(x)在区间322,上为增函数，求的最大值.解：（1）314cossinsincos222fxxxxx22223sincos2sincossinxxxxx3sin21x因1sin21x，所以函数yfx的值域为13,13（2）因sinyx在每个闭区间2,222kkkZ上为增函数，故3sin21fxx0在每个闭区间,44kkkZ上为增函数.依题意知3,22,44kk对某个kZ成立，此时必有0k，于是32424，解得16，故的最大值为16.4．设向量(sin,cos),(cos,cos),axxbxxxR,函数()()fxaab(I)求函数()fx的最大值与最小正周期;(II)求使不等式3()2fx成立的x的取值集合｡【解析】5．已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx+2cos2x,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?第3页共10页【解析】:(1)1cos23()sin2(1cos2)22xfxxx313sin2cos22223sin(2).62xxx()fx的最小正周期2.2T由题意得222,,262kxkkZ即,.36kxkkZ()fx的单调增区间为,,.36kkkZ(2)先把sin2yx图象上所有点向左平移12个单位长度,得到sin(2)6yx的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度,就得到3sin(2)62yx的图象｡6．已知函数()sin(),fxAxxR(其中0,0,02A)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2,且图象上一个最低点为2(,2)3M.(Ⅰ)求()fx的解析式;(Ⅱ)当[,]122x,求()fx的值域.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】：(1)由最低点为2(,2)3M得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为2得2T=2,即T,222T由点2(,2)3M在图像上的242sin(2)2,)133即sin(故42,32kkZ1126k又(0,),,()2sin(2)266fxx故(2)7[,],2[,]122636xx　　　　当26x=2,即6x时,()fx取得最大值2;当7266x即2x时,()fx取得最小值-1,故()fx的值域为[-1,2]7．已知函数2π()2sin3cos24fxxx，ππ42x，．（1）求)(xf的最大值和最小值；（2）2)(mxf在ππ42x，上恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（Ⅰ）π()1cos23cos21sin23cos22fxxxxx∵π12sin23x．又ππ42x，∵，ππ2π2633x∴≤≤，第4页共10页即π212sin233x≤≤，maxmin()3()2fxfx，∴．（Ⅱ）()2()2()2fxmfxmfx∵，ππ42x，，max()2mfx∴且min()2mfx，14m∴，即m的取值范围是(14)，．二是考查三角函数式的恒等变形（化简求值）；8．已知3sin5coscos23sincostan322f(I)化简f(II)若是第三象限角,且31cos25,求f的值｡【解析】9．已知函数)]42sin(21)[tan1()(xxxf，求：（1）函数)(xf的定义域和值域；（2）写出函数)(xf的单调递增区间。【解析】:4sin2cos24cos2sin21cossin1)(xxxxxfxxxxx2cos2cossin2cossin1xxxxsincossincos2)sin(cos222xxx2cos2（Ⅰ）函数的定义域ZkkxRxx,2,|Zkkx,22,22cos2x函数)(xf的值域为2,2（Ⅱ）令)(,222Zkkxk得)(2Zkkxk第5页共10页∴函数)(xf的单调递增区间是)(,2Zkkk10.函数2()6cos3cos3(0)2xfxx在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数()fx的值域；（Ⅱ）若083()5fx，且0102(,)33x，求0(1)fx的值.本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想.[解析]（Ⅰ）由已知可得：2()6cos3cos3(0)2xfxx=3cosωx+)3sin(32sin3xx又由于正三角形ABC的高为23，则BC=4所以，函数482824)(，得，即的周期Txf所以，函数]32,32[)(的值域为xf.……………………6分（Ⅱ）因为，由538)(0xf（Ⅰ）有，538)34(sin32)(00xxf54)34(sin0x即由x0)2,2()34x(323100），得，（所以，53)54(1)34(cos20x即故)1(0xf)344(sin320x]4)34(sin[320x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin3200xx567………………………………………………………12分11.已知函数Rxxxf),631sin(2)(（1）求）45(f的值；（2）设、20，，1310)23(f，56)23(f,求)cos(的值.第6页共10页（1）以45x代入解析式直接求解；（2）由题目条件可求出sin及cos的值，然后利用同角三角函数关系，求出cos及sin的值，再利用两角和的余弦公式求解.【精讲精析】（1）24sin2)64531sin(2)45(f；（2）由10f(3)213得2sin=1310，即sin=135，由56)23(f得2sin(2)=56，从而cos53，、20，，cos1312)135(12，sin54)53(12，cos()=coscos－sinsin=651654135531312.12.已知函数)6cos(2)(xxf，（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．（1）求ω的值；（2）设]2,0[,，56)355(f，1716)655(f，求)cos(的值．50、本题考查三角函数求值，三角恒等变换，利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值，难度较低.【解析】（1）21105T（2）56334(5)cos()sin,cos352555f516815(5)cos,sin6171717f4831513cos()coscossinsin51751785三．考查正弦定理和余弦定理.13．在锐角△ABC中,角A．B．C的对边分别为a、b、c,已知.3tan)(222bcAacb(I)求角A;(II)若a=2,求△ABC面积S的最大值｡【解析】:(I)由已知得23sin23cossin2222AAAbcacb又在锐角△ABC中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC中,扣1分](II)因为a=2,A=60°所以bcAbcSbccb43sin21,422而424222bcbcbcbccb又344343sin21bcAbcS所以△ABC面积S的最大值等于3第7页共10页14.已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，cos3sin0aCaCbc（1）求A；（2）若2a，ABC的面积为3；求,bc.52..解：（1）由正弦定理得：cos3sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBCsincos3sinsinsin()sin13sincos1sin(30)2303060ACACaCCAAAAA（2）1sin342SbcAbc，2222cos4abcbcAbc15在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且232coscossin()sincos()25ABBABBAC．（1）求cosA的值；（2）若42a，5b，求向量BA在BC方向上的投影．55【解题指南】本