江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研(二)数学试题含附加题(解析版)

1江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若AB＝{﹣1，a，2}，则a＝．2．若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为．6．函数()2lnfxxx的定义域为．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线22214xyaa的顶点，则a＝．8．已知等比数列na的前n项和为nS，425SS，22a，则4a＝．9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C—MBD的体积为．10．已知定义在R上的奇函数()fx的周期为2，且x[0，1]时，12,02()11,112xaxfxbxxx，则a＋b＝．211．已知锐角满足sin22cos21，则tan()4＝．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝2，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另一侧作正三角形ACD，则BDAC＝．13．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且1OMON0，则a的取值范围为．14．已知a，bR，a＋b＝t（t为常数），且直线y＝ax＋b与曲线exyx（e是自然对数的底数，e≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数t的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin2A＝asinB．（1）求A；（2）求cos(B＋6)＋sin(C＋3)的最大值．16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，DA1＝DD1，点E，F分别为线段A1D1，BC的中点．（1）求证：EF∥平面CC1D1D；（2）求证：AC⊥EBD．317．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221xyab(a＞b＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l与椭圆C交于两点A，B．己知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B．现规划修建一条新路（由线段MP，PQ，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，PQ所对的圆心角为6．记∠PCA＝2（道路宽度均忽略不计）．（1）若512，求QN的长度；（2）求新路总长度的最小值．419．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列na的前n项和为nS，12a，且对任意nN，11122nnnnnnaSaSaa恒成立．（1）求证：数列2nnSa是等差数列，并求数列na的通项公式；（2）设43nnban，已知2b，ib，jb(2＜i＜j)成等差数列，求正整数i，j．20．（本小题满分16分）已知函数()(1)lnfxmxx，2()(2)(3)2gxmxnx，m，nR．（1）当m＝0时，求函数()fx的极值；（2）当n＝0时，函数()()()Fxgxfx在(0，)上为单调函数，求m的取值范围；5（3）当n＞0时，判断是否存在正数m，使得函数()fx与()gx有相同的零点，并说明理由．第II卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A＝12ab对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A的特征值．B．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cossinxy(为参数)．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()104．（1）求曲线C和直线l的普通方程；（2）点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．6C．选修4—5：不等式选讲已知a，b，c是正数，求证：对任意xR，不等式21bcaxxabc恒成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，点M是棱PD的中点．（1）求二面角M—AC—D的余弦值；（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为32222，求PNPC的值．23．（本小题满分10分）7已知数列na中，16a，21133nnnaaa(nN)．（1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a和362；②3a和336()2；（2）当n≥3时，证明：223()2()362niniia．江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I卷（必做题，共160分）1．已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若AB＝{﹣1，a，2}，则a＝．答案：1考点：集合并集运算解析：∵集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，且AB＝{﹣1，a，2}，∴a＝1．2．若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为．答案：0考点：复数解析：2221(1)121(1)(1)1iiiiziiiii，∴z的实部为0．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是．8答案：30考点：频率分布直方图解析：[1(0.0050.0220.025)10]10030．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为．答案：﹣1考点：伪代码解析：第一步：y＝2，x＝2；第一步：y＝﹣1，x＝﹣1；故最后输出的y的值为﹣1．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为．答案：2考点：随机变量的概率解析：∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，∴男生人数与女生人数的比值为2．6．函数()2lnfxxx的定义域为．答案：(0，2]考点：函数的定义域9解析：20020xxx，故与函数的定义域为(0，2]．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线22214xyaa的顶点，则a＝．答案：1考点：抛物线与双曲线的简单性质解析：∵抛物线y2＝4x的焦点是(1，0)，∴双曲线22214xyaa的顶点为(1，0)，故a＝1．8．已知等比数列na的前n项和为nS，425SS，22a，则4a＝．答案：2或8考点：等比数列的简单性质解析：∵na为等比数列，425SS，∴1234125()aaaaaa，∴34124()aaaa，当120aa时，1q，此时4a＝2；当120aa时，24q，此时242248aaq，综上所述，4a＝2或8．9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C—MBD的体积为．答案：24考点：棱锥的体积解析：2311121=6243239CMBDVBCAA—．1010．已知定义在R上的奇函数()fx的周期为2，且x[0，1]时，12,02()11,112xaxfxbxxx，则a＋b＝．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：∵()fx为定义在R上的奇函数，∴(1)(1)ff①，(0)0f，∵函数()fx的周期为2，∴(1)(1)ff②，由①，②得(1)(1)0ff∴0(0)201011(1)02faaabbbf．11．已知锐角满足sin22cos21，则tan()4＝．答案：2考点：三角恒等变换解析：∵sin22cos21，∴22222sincos2(cossin)sincos0，化简得223sin2sincoscos0，两边同时除以2cos得，23tan2tan10，∵为锐角，∴tan＞0解得1tan3，∴11tantan34tan()2141tantan1143．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝2，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另一侧作正三角形ACD，则BDAC＝．11答案：4考点：平面向量的数量积解析：取AC中点E，则1BDAC(BEED)ACBEAC(BABC)(BCBA)2222211(BCBA)(31)422．13．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且1OMON0，则a的取值范围为．答案：(22，4)考点：圆与圆的位置关系解析：1OMON0四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，且ON为△ABM的中位线AM＝2ON＝2AO1＝3，故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9xay，故22()9xay与x2＋y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，求得280222Aaxaa，故a的取值范围为(22，4)．14．已知a，bR，a＋b＝t（t为常数），且直线y＝ax＋b与曲线exyx（e是自然对数的底数，e≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数t的取值范围为．答案：(，25e){e}考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程解析：设切点为(0x，00xxe)12(1)exyx，∴00002000(1)eeexxxaxbxxaxb，02000e(1)()xabxxfxt有唯一解，0000()e(2)(1)xfxxx，0x(，﹣2)﹣2(﹣2，1)1(1，)0()fx﹣0﹢0﹣0()fx递减25e递增e递减故0()fxt有唯一解时t的取值范围为(，25e){e}．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作