初中数学因式分解复习教案

多项式的因式分解知识点1：分解因式的定义讨论99993能被100整除吗？你是怎么想的？与同学交流。金正恩是这样做的：999939999992)199(992)199)(199(999800991009899其中有一个因数是100，所以原式能被100整除。在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数的积的形式。例题1（1）计算下列各式：①)4)(4(mm；②2)3(y；③)1(3xx；④)(cbam；⑤)1)(1(aaa；（2）根据上面的算式填空：①xx332；②162m；③mcmbma；④962yy；⑤aa3；在（1）中我们知道从左至右运算是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解。把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。注意：①分解因式的对象是多项式，不是单项式，也不是分式。②分解因式的结果必须是整式的乘积的形式。③不是所有的多项式都能分解因式。④分解因式要彻底，直到不能分解为止。知识点2：分解因式与整式乘法的关系如果把整式乘法看做一个变形过程，那么多项式的分解因式就是它的逆变形。实质上，整式乘法和分解因式就是互逆的恒等变形过程。连一连aaaaababayx232222226348449)23)(23()(4)2(3)1(22yxyxbaaaaa一、选择题1、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A.ababaa2)(B.1)2(122aaaaC.)1(2xxxxD.)1)(1(12yxyxyyx2、下列因式分解正确的是（）A.))((22yxyxyxB.)3)(2(62mmmmC.)1(23xxxxD.)1)(1(2122babababa二、思考题201520162017333能被5整除吗？为什么？知识点3：提公因式法1计算：（1）2976971397（2）多项式23262yxyx中各项的公因式是什么？结论：①各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数。②各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分。③公因式的系数与公因式的字母部分的积是这个多项式的公因式。例题1将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：（1）acab（2）xx42（3）bnbmb2练习：将下列多项式进行分解因式：（1）63x（2）xx2172（3）abcabba323128（4）xxx28122423（5）222yxyx（6）23)()(mnnm归纳：提取公因式的步骤：①找公因式②提公因式注意：提取公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负都变号，变形看奇偶。知识点4：提公因式法2多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如)(ba就是多项式cbadba)()(的公因式。公因式是多项式中每一项都含有的公共因式，可以是数字，也可以是字母，也可以是多项式。例题1多项式32)(6)(2yxyx中各项的公因式是什么？写出下列多项式各项的公因式：①)5(2)5(xbxa②23)(12)(6xyyx③)(12)(92pqqp④)2(9)2(5mm例题2把下列各式分解因式①)3(2)3(xbxa②)()(xybyxa③23)(12)(6mnnm金正恩：虽然)(yxa与)(xyb看上去没有公因式，但仔细观察可以发现)(yx与)(xy是互为相反数的，如果把其中一个提取一个“”号，则可以出现公因式，如)(yxxy，23)()(mnnm与也是如此。练习请在下列各式等号右边的括号前填入“”或“”号，使得等式成立：（1）a2)2(a（2）xy)(yx（3）ab)(ba（4）2)(ab2)(ba（5）nm)(nm（6）22ts)(22ts把下列各式分解因式（1）)()(baybax（2）)()(3yxyxa（3）)(12)(62pqqp（4）)2()2(mbma（5）)(3)(22yxxy（6）2)()(mnmnmmn把下列各式分解因式（1）23)(10)(5xyyx（2）)()()(2abbbaaab（3）)()(abnbam（4）))(())((qpmnnqpnmm金正恩：这些题目太弱了，不适合我这么强的男人。所以))(())((cabcabcbacba知识点5：用平方差公式分解因式形如22ba的多项式分解因式的方法，即))((22bababa，我们把它叫做分解因式的平方差公式，可以叙述为：两个数的平方差，等于两数之和乘以两数之差。注意：常见的公式变式有①位置变式22))(baabba（②符号变式22))(())((abbabababa③系数变式2249)23)(23(bababa④指数变式4622232323)()())((babababa⑤项数变式22)()()())((cbacbacbacbacba⑥连用变式44222222))(())()((babababababa把下列各式分解因式（1）21625x（2）22419ba（3）224yx（4）24481yx（5）222mba（6）448116yx（7）22)()(9nmnm（8）xx823当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进行下一步分解。把下列各式分解因式（1）35xx（2）abab223（3）xx163（4）4233ayax（5）22)()(bnam（6）2216)34(yyx（7）22)2(9)2(4yxyx（8）22)2()2(cbacba（9）xxx10)98)(12(知识点6：用完全平方公式分解因式形如222baba的多项式分解因式的方法，即222)(2bababa，我们称它为分解因式的完全平方公式，即两数的平方和加上（或减去）它们积的两倍，等于这两个数和（或差）的平方。1、下列各式是不是完全平方式？①442aa②2244yxx③224124baba④22baba⑤962xx⑥25.02aa例1将下列格式分解因式。（1）49142xx（2）2244yxyx分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式。2、把下列各式分解因式（1）223612yxyx（2）422492416bbaa（3）229341nmnm（4）251036xx（5）2244baba（6）222168cabcba例2将下列各式分解因式（1）22363ayaxyax（2）xyyx4422分析：对于一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式公式分解因式。如果三项中有两项能写成两数或两式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“”号，然后再用完全平方公式分解因式。3、把下列各式分解因式（1）xxx2344（2）222yxxy（3）231236xxx（4）22242yxyx（5）222121baba（6）xxx24223分析：对于多项式442aa大家都会分解了，如果将a换成)(nm，你能写出替换后的式子吗？那又该如何分解呢？例题3.把下列各式分解因式（1）81)(18)(2yxyx（2）2)(9)(124yxyx（3）22)(25)(10babamm（4）22)())((2)(nmnmnmnm巩固与练习1、填空（1）若一个正方形的面积是224129yxyx，则这个正方形的边长是。（2）当k时，2249100ykxyx是一个完全平方式。（3）计算：3620066220062。（4）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式44yx，因式分解的结果是))()((22yxyxyx，若取9x，9y时，则各个因式的值是0)(yx，18)(yx，16222yx，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式234xyx，取10x，10y时，上述方法产生的密码可以是。2、多项式142x加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式？3、已知a为正整数，试说明1)12(2a是8的倍数。4、利用因式分解计算：)11()411)(311)(211(2222n5、已知1yx，求222121yxyx。6、已知212ba，2ab，求42332444bababa。7、求证：无论x，y为何值，27104422yyxx的值恒为正。8、若a，b，c为三角形的三边，且满足acbcabcba222，那么三角形是什么特殊三角形？为什么？知识点7：因式分解补充方法：十字相乘法对于某些首项系数是1的二次三项式qpxx2（其中abqbap,）的因式分解。))(()(2bxaxabxbax整式乘法①)3)(2(xx=；②)3)(2(xx=；③)3)(2(xx=；④)3)(2(xx=；⑤))((bxax=。分解因式①652xx=；②62xx=；③62xx=；④652xx=；⑤abxbax)(2=。一般的，∵abxbaxbxax)())((2，∴))(()(2bxaxabxbax这就是说，对于二次三项式qpxx2，若能找到两个数a、b，使qbapba，则就有))(()(22bxaxabxbaxqpxx。（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法）如对于二次三项式232xx，其中3p，2q，能找到两个数1、2.使qp2121故有)2)(1(232xxxx例题19102xx1032xx解：11（x+1）解：1-5（x-5）19（x+9）12（x+2）101191991；321)5(1;925∴)9)(1(9102xxxx∴)2)(5(1032xxxx说明：用十字相乘法分解二次三项式qpxx2，式中的p，q通常是整数，要找的a，b两数也通常是在整数中去找。由于把p拆成两个整数之和有无数种情况，而把q分解成两个整数之积只有有限的几种可能，故应先把q分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数之和等于p。练习题①652xx；②652xx；③652xx；④652xx。观察以上练习中的各题，你能发现把q分解成两个整数a，b之积时的符号规律吗？1、若0＞q，则a，b同号。当0＞p时a，b同为正，当0＜p时a，b同为负。2、若0＜q，则a，b异号。当0＞p时a，b中绝对值大的为正数，当0＜p时a，b中绝对值大的为负数。练习题①8722abba②2243nmnm③36)(5)(2baba④120)8(22)8(222aaaa⑤xxx21423⑥yxyyx25102⑦27624xx⑧91024xx⑨111024xx⑩42243613yyxx