中考二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练（一）1题型一：面积问题•2012如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．•（1）求抛物线的表达式；抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．•（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；22020/5/29由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：3k+3=0，k=-1∴直线BC：y=-x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则D（2，1）；•∴AD=AC=CD=即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；∴S△ACD=1/2AD•CD=32020/5/2942020/5/29•如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）。（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积。52020/5/29•（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；•（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；•（3）过P作y轴的垂线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．•此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．62020/5/29证明：连接CE，则CE⊥BD，72020/5/29（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；82020/5/2992020/5/29•（2014）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．•（1）求抛物线的表达式；•（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．102020/5/29•（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论112020/5/29122020/5/29132020/5/29•题型二：构造直角三角形•山东聊城如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．•（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；•（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；•（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．y＝x2－2x－3142020/5/29解：由于A、B关于抛物线的对称轴直线x=1对称，那么M点为直线BC与x=1的交点；由于直线BC经过C（0，-3），可设其解析式为y=kx-3，则有：3k-3=0，k=1；∴直线BC的解析式为y=x-3；当x=1时，y=x-3=-2，即M（1，-2）；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；152020/5/29解：方法一，作PD⊥y轴，垂足为D；易证△BOC相似于△CDP∵OB=OC=3，∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，∴P（1，-4）．（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标方法二：要使∠PBC＝90°，则直线PC过点C，且与BC垂直，又直线BC的解析式为y＝x－3，所以直线PC的解析式为y＝－x－3，当x＝1时，y＝－4，所以P点坐标为（1，－4）．162020/5/29172020/5/29•如图，已知直线y=1/2x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝1/2x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。•（1）求该抛物线的解析式；•（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。•（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM—MC|的值最大，求出点M的坐标182020/5/29（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P解析：让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨点评：一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；192020/5/29202020/5/29（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM—MC|的值最大，求出点M坐标解析：易得|AM-MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标解：抛物线的对称轴为x=3/2∵B、C关于x=3/2对称∴MC=MB要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大易知直线AB的解折式为y=-x+1点评：求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点212020/5/29222020/5/29•如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．232020/5/29•试题分析：（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式；•（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题；•（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．242020/5/29•（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式；（1）如图1•∵A（﹣3，0），C（0，4），•∴OA=3，OC=4．•∵∠AOC=90°，•∴AC=5．•∵BC∥AO，AB平分∠CAO，•∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．•∴BC=AC．•∴BC=5．•∵BC∥AO，BC=5，OC=4，•∴点B的坐标为（5，4）．•∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上252020/5/29•如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题；262020/5/29（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标①当∠BAM=90°时，如图3所示272020/5/29•②当∠ABM=90°时，如图4所示282020/5/29292020/5/29•题型三：构造等腰三角形•如图，已知抛物线y=aX2+bX+3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；y=-x2-2x+3（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．302020/5/29•（2）解析：可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：•①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．•②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．•③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；•要分类进行求解，不要漏解312020/5/29322020/5/29•（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标332020/5/29342020/5/29•在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．•（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；•（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；•解析：当k=-2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y=，利用待定系数法即可求得答案，将k=-2代入y=k（x2+x-1），运用配方法写成顶点式，即可求出二次函数的图象的顶点；（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函数y=k（x2+x-1）的对称轴为x=-1/2，可得x＜-1/2时，才能使得y随着x的增大而增大.352020/5/29（1）当k=-2时，A（1，-2）.设反比例函数的解析式为：y=．将A（1，-2）代入得：m=-2．∴反比例函数的解析式为：y=；（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0．∵二次函数y=k（x2+x-1）=k(x+1/2)2-k，∴对称轴为x=-1/2要使二次函数y=k（x2+x-1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x＜-1/2时，才能使得y随着x的增大而增大．综上所述，k＜0且x＜-1/2．362020/5/29372020/5/29•如图，已知抛物线经过点B（﹣2，3），原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C（2，0）．•（1）求此抛物线的函数关系式；•（2）连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；•（3）在（2）的条件下，连接BE，设BE的中点为