1.1行列式的定义和性质解读

§1.1n阶行列式第一章行列式§1.2行列式的性质§1.3克拉默法则§1.4克莱姆法则解线性方程组用消元法解二元线性方程组.,22221211212111bxaxabxaxa12:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa，得两式相减消去2x一、二阶行列式的引入;212221121122211baabxaaaa）（，得类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（时，当021122211aaaa方程组的解为，211222112122211aaaabaabx由方程组的四个系数确定.211222112111122aaaaababx由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义)5(42221121121122211aaaaaaaa行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式即2112221122211211aaaaaaaa2112221122211211aaaaaaaa11a12a22a12a主对角线副对角线对角线法则2211aa.2112aa二阶行列式的计算若记.,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组系数行列式2212aa2111aaD0则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx注意分母都为原方程组的系数行列式..2221121122111122aaaababaDDx例1.12,12232121xxxx求解二元线性方程组解1223D)4(3,07112121D,14121232D,21DDx11,2714DDx22.3721二、三阶行列式定义333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表行个数排成设有记,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.323122211211aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa(1)沙路法三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaaD.列标行标333231232221131211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa如果三元线性方程组;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,0利用三阶行列式求解三元线性方程组2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.,3333123221131112abaabaabaD.3323122221112113baabaabaaD则三元线性方程组的解为:,11DDx,22DDx.33DDx333231232221131211aaaaaaaaaD,3332323222131211aabaabaabD2-43-122-4-21D计算三阶行列式例２解按对角线法则，有D4)2()4()3(12)2(21)3(2)4()2()2(241124843264.14.094321112xx求解方程例3解方程左端1229184322xxxxD,652xx2560xx由解得3.2xx或例4解线性方程组.0,132,22321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式111312121D1111321211111221315,0同理可得1103111221D,51013121212D,100111122213D,5故方程组的解为:,111DDx,222DDx.133DDx二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa小结对于数码is和it：逆序数：一个排列中逆序的个数，例求132、436512的逆序数解逆序数为偶数的排列称为偶排列，n阶（级）排列：由n个不同的数码1,2,…n组成的有序数组ntsiiiii21132是奇排列，436512是偶排列。但312是偶排列，634512、436521是奇排列。三、排列与逆序数)(tsii大前小后叫逆序(反序))()(2121nniiiiiiN或记为：)132(N011)436512(N0232310为奇数的称为奇排列。可见：交换任何两个元素（对换）改变了排列的奇偶性！再分析P.5的表1-1排列123132213231312321逆序无322121，3131，3232，31，21逆序数011223奇偶性偶偶偶奇奇奇•一个对换改变排列的奇偶性；•3!个排列中，奇、偶排列各占一半。定义一个排列的两个元素交换位置,其余元素不动,称为对换.相邻两个元素的对换称为相邻对换.定理1对换改变排列的奇偶性。证（1）设元素i,j相邻：BjiABijAji),(•若ij,则新排列增加一个逆序;•若ij,则新排列减少一个逆序。—改变了奇偶性（2）设元素i,j不相邻：jBkAiks1次相邻对换作将1sijiBkAks1次相邻对换作将sjiBkAjks1共作了2s+1次相邻对换，由（1）知，排列改变了奇偶性。定理2n个数码构成n!个n级排列，奇偶排列各占一半（n!/2个）。证设有p个奇排列，q个偶排列，p个奇排列换对每个排列施以同一对p个偶排列qpq个偶排列换对每个排列施以同一对q个奇排列pq2!npq四、n阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义其中称为的第行第列的元素．横排称行,竖排称列.ijaij),,2,1,(njinnnnnnaaaaaaaaaD212222111211niiiiiiiiiNnnnaaa21212121)()1(||ijaD的一般项还可记为nnnnjijijijjjNiiiNaaa22112121)()()1(列标按自然顺序排列n阶行列式的另外两种表示(证明略）：说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;n!n3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积，每一项符号确定;nn4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;aa几种特殊行列式：例nnnnnaaaaaaD21222111O解由定义，nnnnjjjjjjjjjNnaaaD21212121)()1(只有,11j,22j时njn,,02121nnjjjaaa,0)12()(21nNjjjNn而nnnaaaD2211故nnaaa2211左下三角形行列式右上三角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.9)nnnnnaaaaaaD22211211特别：对角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.10)nnaaa2211nnaaa2211nnnaaaD2211OO例7000650034102301D3575110003001102102301D3122)1()4321(N1212)1(6定义nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211中的行与列按原来的顺序互换，得到的新行列式称为原行列式的转置行列式,记为DT.把n阶行列式五、行列式的性质显然也是的转置行列式.TDDnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111T例如T221112212121DbababababbaaD．性质1行列式与它的转置行列式相等，即．DTDTDD说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaa21212111211性质2如果将行列式的任意两行(或列)互换，那么行列式的值改变符号，即例如2121122112212121)(bbaababaababaabb．性质3如果行列式中两行(或列)对应元素全部相同，那么行列式的值为零，即．021212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaai行k行例231213132321321321321abaabaabaabaaaabbbaaa0123312abaabannnniniinaaakakakaaaa212111211性质4行列式一行(或列)的公因子可以提到行列式记号的外面，即kkkkkkkkknnnniniinaaaaaaaaa212111211k例如12212121kbakbakbkbaa21211221)(bbaakbabak推论2如果行列式中有一行(或列)的全部元素都是零，那么这个行列式的值是零.推论1一个数乘行列式等于该数乘行列式中某一行(或列)的全部元素.性质5行列式中如果两行(或列)对应元素成比例，那么行列式的值为零.),,2,1(njcbaijijij，那么此行列式等于两个行列式之和.性质6行列式中一行(或列)的每一个元素如果可以写成两数之和，nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa21221111211即nnnniniinnnnniniinaaacccaaaaaabbbaaa212111211212111211例如二阶行列式)()(112221221121cbacbacbcbaa)()(12211221cacababa21212121ccaabbaa．性质7在行列式中，把某一行(或列)的k倍加到另一行(或列)对应的元素上去,那么行列式的值不变，即nnnninjnijijiniinaaakaakaakaaaaaaaa2122112111211nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211用性质6和