8.1齐次方程的分离变数法

第八章分离变数法l利用分离变数法求解齐次弦振动方程的混合问题既有初始又有边界条件问题：长为均匀有弹性的弦两端固定而自由振动教学重点：介绍用分离变数法求解数学物理定解问题，在此基础上介绍傅里叶级数法。如何根据边界条件直接设定试探解以简化求解过程是一个关键点。8.1齐次方程的分离变数法(一)分离变数法介绍基本思想：把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有些常微分方程带上附加条件构成本征值问题。泛定方程：定解条件：20ttxxuau000(,)0,(,)0(,)(),(,)()xxltttuxtuxtuxtxuxtx边界条件初始条件根据达朗贝尔法求解振动问题，可知问题的解是由初始位移和初始速度引起的向相反方向传播的行波。现在端点被固定，那么波遇到端点会反射，同频率的前进波与反射波叠加形成驻波。(,)()(),uxtXxTt驻波的一般表达式为：代入定解问题中波节波腹驻波特点：具有波腹(振幅最大的点)和波节(振幅最小的点)。从外形上看，没有波形的传播，各点的振动位相没有滞后现象，它们是按同一方式随时间t振动，记做T(t)，各点的振幅随坐标而异，记做X(x)。2()''()''()()0XxTtaXxTt(0)()0,()()0XTtXlTt(0)0,()0XXl22()''()''()()''()''()()()XxTtaXxTtTtXxaTtXxtxxt只是的函数，只是的函数，而、是相互独立的变量只有两边都等于一个常数时，等式才成立，设为-。2''()''()()()TtXxaTtXx2''()()0''()()0XxXxTtaTt''()()0(0)0,()0XxXxXXt其中构成本征问题2()''()''()()0XxTtaXxTt(0)0,()0XXl2''()()0''()()0XxXxTtaTt''()()0(0)0,()0XxXxXXl其中特性方程/本征方程合成本征值问题本征条件称为特征值或本征值0,0,0下面分别就三种情况下来求解：20''()()00XxXxr(1)：二阶线性常系数微分方程1,2r12()xxXxCeCe1212(0)0()0llXCCXlCeCe代入本征条件：120()00(,)0CXxCuxt无意义0时方程无解。0''()0Xx(2)：12()XxCxC12212100000CCCClCC代入本征条件：()0(,)0Xxuxt无意义,=0无解20''()()00XxXxr(3)：1,21212,(cossin)()cossinxrieCxCxXxCxCx112(0)0()cossin0XCXlClCl代入本征条件：120(,)00CuxtC无意义20,sin0Cl除非：只有222,1,2,3,...nnlnnl特征值()sin,nnnnxXxCCl相应的本征函数为：为任意常数2222)''()()0nnnaTtTtTtl关于(的常微分方程：()cossinnnnnanaTtAtBtll(,)()()(cossin)sinnnnnnnananxuxtXxTtAtBtlllnn由此得一般解：为正整数，每一个对应一种驻波。也称为本征振动，有无穷个本征振动2''()()0(0)0,()0''()()0XxXxXXlTtaTt(,)()()(cossin)sinnnnnnnnananxuxtXxTtAtBtllluxtuxt已得到一般解：由于任一个解(,)均不满足初始条件。要得到满足初始条件的解，必须将这些本征振动进行线性叠加。其和记为(,),即：20000(,)0,(,)0(,)(),(,)()ttxxxxltttuauuxtuxtuxtxuxtx边界条件初始条件11(,)(cossin)sinnnnnnnananxuxtuxtAtBtlll(,)=10sin()nnnxuxAxl代入初始条件：(,)02()sinlnnnxAxdxll1sinnnnxl10sin()tnnnanxuxBxll(,)1sinnnnxl02()sinlnnlnxBxdxnanal12分离变数分离变数回顾整个求解过程：常微分方程解1偏微分方程常微分方程齐次边界条件条件20000(,)0,(,)0(,)(),(,)()ttxxxxltttuauuxtuxtuxtxuxtx边界条件初始条件11(,)(cossin)sinnnnnnnananxuxtuxtAtBtlll(,)=02()sinlnnnxAxdxll02()sinlnnlnxBxdxnanal2解（本征函数）本征解（解1解2）分离变数法本征值所求解=本征解初始条件，确定叠加系数1()sinnnuxtnxuxtTtl解：参照边界条件(2)式，将(,)展为傅里叶正弦级数(,)(二)傅里叶级数法定解问题：2222''()()0nnnaTtTtl代入(1)式得:1()cossin(cossin)sinnnnnnnnanaTtAtBtllnatnatnxuxtABlll方程的解为：(,)20000(1)(,)0,(,)0(2)(0)(,)(),(,)()(3)ttxxxxltttuauuxtuxtxluxtxuxtx22221[''()()]sin0nnnnanxTtTtll0120sin()()sinlnnnnnxnxuxAxAxdxlll由(,)0120sin()()sinltnnnnanxnxuxBxBxdxllnal由(,)以上方法称为傅里叶级数法磁致伸缩换能器的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。鱼群探测换能器的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。0()cos,nnuxtnxuxtTtl解：参照边界条件(2)式，将(,)展为傅里叶余弦级数试探解：(,)代入(1)式(三)例题：下面给出分离变数法(傅里叶级数法)的例题例1：磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆它作纵振动，研究两端自由棒的纵振动。2222''()()0nnnaTtTtl00cossin(0)()(0)nnnnatnatABnTtllABtn方程的解为：20000(1)(,)0,(,)0(2)(0)(,)(),(,)()(3)ttxxxxxxltttuauuxtuxtxluxtxuxtx定解问题：22220[''()()]cos0nnnnanxTtTtll得001(cossin)cosnnnnatnatnxuxtABtABlll(,)001(cossin)cosnnnnatnatnxuxtABtABlll(,)01010cos()(,0)cos()nntnnnxuxAAxlnanxuxBBxll(,)00(,)(),(,)()tttuxtxuxtx代入初始条件00000011()(),22()cos()cosllllnnAxdxBxdxllnxnxAxdxBxdxllnal单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放。单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放。例2：单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放，试求管内空气柱的本征振动。200(1)(,)0,(,)0ttxxxxxluauuxtuxt定解问题：(2)1()2()sin,nnxuxtTtl解：法一：参照边界条件(2)式，可设试探解为(,)代入（1）式得222211()()22[''()()]sin0nnnanxTtTtll22221()2''()()0nnnaTtTtl因为没有初始条件，所以不(必求和)11()()22()cossinnnnnatnatTtABll111()()()222(,)[cossin]sinnnnatnatnxuxtABlll可见只有奇次谐音，无偶次谐音，这是单簧管特有的音色。～本征振动200(1)(,)0,(,)0ttxxxxxluauuxtuxt定解问题：(2)(,)()(),uxtXxTt法二：由分离变数法，令代入泛定方程得2()''()''()()0XxTtaXxTt(0)()0,'()()0XTtXlTt(0)0,'()0XXl2''()()0''()()0XxXxTtaTt''()()0(0)0,'()0XxXxXXl构成本征值问题21,200rr(1)：12()xxXxCeCe121212(0)00,(,)0,'()0llXCCCCuxtXlCeCe代入本征条件：无意义0''()0Xx(2)：12()XxCxC1221100000CCCCC代入本征条件：(,)0uxt无意义,=0无解20''()()00XxXxr(3)：1,21212,(cossin)()cossinxrieCxCxXxCxCx112(0)0sincos0XCClCl代入本征条件：120(,)00CuxtC无意义20,0Cl除非：只有cos2221(),1,2,3,...2nnnl特征值12()()sin,nnnnxXxCCl相应的本征函数为：为任意常数222122()''()()0nnnaTtTtl的解为：1122()()()cossinnnnnanaTtAtBtll1()2ln111222(,)()()()()()[cossin]sinnnnnnuxtXxTtnatnatnxABlll由此得一般解：0u例3：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为，杆上温度梯度均匀。零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热，试求细杆上温度的变化。220000(/)(,)0,(,)0(,)()txxxxxltuxtuauakcuxtuxtuxuxtxl解：杆上温度(,)满足下列泛定方程和定解条件0l0u0000000:,0,00,/xtuCuCuCxduCdxuCxCxuCuuxxlCluCull一维情况下，即120222112220222122222122()(,)()sin,()()['()()]sin0()'()()0()(),()nnnnnnnnnnxuxtTtlnanxTtTtllnaTtTtlnadTtdtTtl设积分2221()222221()22120()()(,)si