第八分离变数法-

1第八章分离变数法1.齐次方程的分离变数法2.非齐次振动方程和输运方程3.非齐次边界条件的处理4.泊松方程5.小结(自学)本课程重点222222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0tuuaxlttxuxxuxxxlutultt1.齐次方程的分离变数法物理问题:一根长为的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动l定解问题:一:引入§3由力学的知识,两端固定弦的振动会形成驻波:2(,)2coscos2xuxtAt二.基本思想：三.四.把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中某些常微分方程带有附加条件，从而构成本征值问题。本章中，只考虑本征函数为三角函数的情况。(,)()()uxtXxTt4三.分离变数法求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的常微分方程和附加条件(,)()()uxtXxTt()()0(0)()0XxXxXXlX(x)：本征值问题2()()0TtaTtT(t)：5第二步：求本征值和本征函数X(x)，以及T(t)的表达式本征值和本征函数2,()sin,1,2,3,nnnlnXxCxln()cossin1,2,3,nnnananTtAtBtllnT(t)的表达式6这些驻波常称为两端固定弦的本征振动。),2,1(sin)sincos(),(nxlntlanBtlanAtxunnn　0),(,),1,0(/txuknklxn时这些点是驻波的波节位置，波长为2/ln第三步：得出分离变数形式的本征解7第四步:根据叠加原理求出一般解11(,)(,)(cossin)sinnnnnnuxtuxtnananAtBtxlll　　8第五步:利用初始条件求叠加系数,代入得定解问题的解1(,)cossinsinnnnanannuxtAtBtxlll02()sinlnnAdll02()sinlnnBdanl利用初始条件得:9四.分离变数法的适用范围：具有齐次线性泛定方程和齐次边界条件的定解问题。A两端均为第一类齐次边界条件B.两端均为第二类齐次边界条件C.一段为第一类齐次边界条件,一端第二类齐次边界条件10例2.第二类其次边界条件的定解问题两端自由的杆的纵振动的定解问题为　)()0,(),()0,(xxuxxut0),(),0(tlutuxx02xxttuau11000)()(:00CxXxDCxX零解，舍去xCxCxXsincos)(:0210cossin(0212lClCC222ln,2,1cos)(1nxlnCxX　　由限定条件有本征值本征函数12合并＝0，＞0的结果将本征值代入T的方程，得本征解为,2,1sincos)(ntlanBtlanAtTnn　　　lxntlanBtlanAtxutBAtxunnncos)sincos(),(),(000tBAtT000)(,2,1,0cos)(1nxlnCxX　　13例3.一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类齐次边界条件细杆导热，初始时刻：一端温度为0度，保持不变，另一端温度为u0，跟外界绝热，杆上温度梯度均匀。对应的定解问题为lxuuuuuautlxxxxxt/|0|,0|0000214设试探解代入整理后得求解本征值问题：代入限制条件：00)(,0)0(02TaTlXXxXxCxCxXsincos)(:0:0,021零解，无意义)()(),(tTxXtxu15要想非零解，必须相应本征函数：0cos021lCC),1,0(,2)12(sin)(2kxlkCxX2224)12(),1,0(,)2/1(lkkkltlakCetTTlkaT22224)12(2222)(04)12(16xlkeCutlakkk2)12(sin22224)12(本征解为：满足泛定方程和边界条件的一般解为根据初始条件确定叠加系数，注意此处的基本函数族xlkeCtxutlakkk2)12(sin),(22224)12(022000)2/1(2)1()2/1(sin2kludlklulCklk17对解的分析(1)基本函数族与边界条件有关(2)从解可知，t0时，发散，因果关系：初始条件可推出以后时刻，但不能反推出以前时刻。例三.非齐次边界条件情况对非齐次情况，让尽可能多的边界条件齐次化。根据：叠加原理1：热传导问题＿＿二维矩形区域一边y=b处处于较高温度U，其余三边x=0,x=a,y=0处于较低温度U0，稳定温度分布，求定解问题18由于是稳定场，不含初始条件，泛定方程是Laplace方程Ubxuuxuyauyuuuyyxx),()0,(),(),0(00定解问题19方法一：设u(x,y)=v(x,y)+w(x,y)v,w分别满足泛定方程与齐次边界条件一起作变量分离，用前面同样的方法求本征值－－本征函数－－本征解－－线性组合得一般，再由另外的边界条件确定组合系数。Ubxwuxwyawy),(,)0,(0),(),0(00),()0,(),(),0(000　　20方法二：考虑到边界条件中有三个都是等于同一值，平移温标则有(1)设代入得),(),(0yxvuyxu0),(,0)0,(0),(),0(0uUbxvxvyavyvvvyyxx)()(yYxXv00)()0(0YYaXXXX21(2)求解本征值问题，得本征值本征函数(3)本征值代入Y的方程，得本征解xanCXnansin),2,1(/222xanBeAeyxvyanyannsin)(),(yanyanBeAeYxanBeAeyxvyanyannsin)(),(1(4)叠加代入剩余的边界条件221011/sinsin)(0sin)(nnbannbannnnnnaxnCuUxaneBeAxanBA23)cos1()(2sin)(2000nnuUdxaxnuUaCan)(0)())(40为偶数　　　　　为奇数　　（nnneeuUBAabnabnnn242.极坐标系中的分离变数法见书例4：匀强电场中置入导体圆柱，静电平衡，导体邻近的静电场不再均匀，但无限远处仍为匀强电场。(三维－－二维)取极坐标系如图，柱外空间无(自由)电荷，电势u的分布导体表面为等势面，且设为零)(0柱外　　yyxxuu0|222ayxu25边界为圆形，若直接用分离变数法，对边界条件有不能由此得到分离的条件。从对称性出发，选用极坐标系，Laplace方程为边界条件为注意到无限远处，仍为匀强电场，取x轴方向为匀强电场的方向，有0)()(22xaYxX)(01122222auuu　　0|auxEEu00cos|26试探解代入泛定方程得由于有（自然周期条件）)()(),(Ru)(1ddRddR02RRR)()2(027自然周期条件与方程一起构成本征值问题。从自然周期条件得，小于0，零解本征函数即)0()0()0(sincos　　　　　　　　　　BeAeBABA),1,0(2mm　　)0()0(sincosmAmmBmA　　　　　　　),2,1,0(sincosmmBmA28本征值代入R的方程得这是欧拉型常微分方程，作代换?得这里，R是t的函数，解为本征解022RmRR)0(ln),2,1(mDCDtCmDCDeCeRmmmtmt　　/1/lnddttet02RmR)0(ln)0)()(sincos(000mDCumDCmBmAummmmmmm　　29叠加，得一般解为考虑条件，得由于傅氏级数等于0，意味着所有傅氏系数为0100))(sincos(ln),(mmmmmmmDCmBmADCu0|aummmmmmmaCDaDCaDaCaDC20000ln00ln0))(sincos(ln100mmmmmmmaDaCmBmAaDC30120))(sincos()/ln(),(mmmmmmamBmAaDu即再考虑趋于无穷时的条件有故有比较系数得cos)sincos(lim),(lim01EmBmAummmm)1(0,01mBAEAmmmmmaa,/ln31定解问题的解为解的物理意义第二项：原来静电场的电势分布。第三项：静电平衡时感应电荷的影响。第一项：均匀带电柱体周围静电场的电势分布，在本问题中未说明导体柱是否带电，故有此项。coscos)/ln(),(2000aEEaDu32§2.非齐次振动方程和输运方程傅立叶级数法冲量定理法直接求解非齐次方程的定解问题把非齐次方程的定解问题转化为齐次方程的定解问题后求解适用齐次的边界条件下的非齐次振动和输运问题33一.傅立叶级数法由于齐次边界条件,分离变数法得到的解具有傅立叶级数表示形式:nnnxXtTtxu)()(),(其中关于X的部分为傅里叶级数的基本函数族，由边界条件决定，其系数为t的函数.将此试探解代入非齐次泛定方程，尝试分离出关于t的方程,结合初值条件,求出关于t的解,最后带入试探解可得方程的解.这种方法就称为傅立叶级数法1.引入34tlxAuauxxttsincos2)()0,(),()0,(xxuxxut0),(,0),0(tlutuxx例如求解定解问题第一步:根据初始条件把所求的解展开为傅立叶级数问题为第二齐次边界条件，故设解为nnxlntTtxucos)(),((1)2..傅立叶级数法的步骤35nnntlxAxlnTlanTsincoscos)(2222221122222sin,0(1)nnaTTAtlnaTTnl比较系数得的二阶线性常微分方程:nT第二步:分离出关于T的常微分方程并得出初始条件36把(1)代入初始条件:0000(0)cos()cos(0)cos()cosnnnnnnnnnxnxTxllnxnxTxll得到关于初始条件:()nTt0000001(0)()1(0)()llTdlTdl002(0)()cos2(0)()coslnnlnnnTdllnTdll0n0n37结合初始条件和常微分方程可得通解:0n1n2n00()0Ttt当时当时当时1222211()(sinsin)/cossinAllaaTtttaalllaAlattlal()cossinnnnnalnaTtt