2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一(下)期末数学试卷

第1页（共14页）2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．（3分）1和4的等差中项为．2．（3分）已知向量＝（1，2），＝（x，4），且∥，则实数x＝．3．（3分）设函数f（x）＝arctanx，则f（﹣1）的值为．4．（3分）已知数列{an}为等比数列，a2＝1，a5＝8，则数列{an}的公比为．5．（3分）已知sin（）＝．则cosα的值为．6．（3分）已知无穷等比数列{an}的首项为1，公比为，则其各项的和为．7．（3分）（）＝．8．（3分）已知φ∈[0，2π），若方程sinx﹣cosx＝2sin（x﹣φ）的解集为R，则φ＝．9．（3分）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b、c，若△ABC的面积为，且b＝1，c＝2，则角A的弧度为．10．（3分）数列{an}满足an＝（n∈N*），设Sn为数列{an﹣an+1}的前n项和，则S10＝11．（3分）设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝（n∈N*），则数列{an}的通项公式为an＝．12．（3分）已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a3∈（1，2），a4∈（2，4），则a6的取值范围为．二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．（3分）已知基本单位向量＝（1，0），＝（0，1），则|3|的值为（）A．1B．5C．7D．2514．（3分）在学习等差数列时，我们由a1＝a1+0d，a2＝a1+ld，a3＝a1+2d，……，得到等差数列{an}的通项公式是an＝a1+（n﹣1）d，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（）A．不完全归纳法B．数学归纳法第2页（共14页）C．综合法D．分析法15．（3分）设Sn为数列{an}的前n项和，an+Sn＝4（n∈N*），则S4的值为（）A．3B．C．D．不确定16．（3分）小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A，B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个圆环，规定每次只能将一个圆坏从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少次数为（）A．126B．127C．l28D．l29三、解答题（本大题共5题，共52分，解答时写出必要的步骤）17．（8分）已知点G是△ABC的重心，点D在边AC上，＝2（1）用和表示；（2）用和表示．18．（8分）已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcosx+cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最小值和取到最小值时x的取值．19．（10分）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群汉子在一大块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说…除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块呈凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示．为了分割麦田，他将BD连接，设△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，经测量已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）霍尔顿发现无论边BD多长，cosA﹣cosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，第3页（共14页）并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出S12+S22的最大值．20．（12分）已知＝（n，n）（n∈N*），（1）求++的坐标；（2）设bn＝（n∈N*），求数列{bn}的通项公式；（3）设＝（），＝（，）（n∈N*），其中a为常数，|a|≥1，求的值．21．（14分）无穷数列{an}满足：a1为正整数，且对任意正整数n，an+1为前n项a1，a2…，an中等于an的项的个数．（1）若a1＝2019，求a2和a4的值（2）已知命题P：存在正整数m，使得═2，判断命题P的真假并说明理由；（3）若对任意正整数n，都有an+2≥an恒成立，求a1039的值．第4页（共14页）2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．（3分）1和4的等差中项为．【分析】利用等差中项公式求解．【解答】解：1和4的等差中项为：＝．故答案为：．【点评】本题考查两数的等差中项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．（3分）已知向量＝（1，2），＝（x，4），且∥，则实数x＝2．【分析】直接由向量共线的坐标表示列式计算x的值．【解答】解：由向量＝（1，2），＝（x，4），∵∥，∴1×4﹣2x＝0，解得：x＝2．故答案为：2．【点评】共线问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若＝（a1，a2），＝（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2＝0，∥⇔a1b2﹣a2b1＝0．是基础题．3．（3分）设函数f（x）＝arctanx，则f（﹣1）的值为．【分析】由可得，当x＝﹣1时f（x）的值．【解答】解：因为f（x）＝arctanx，所以f（﹣1）＝．第5页（共14页）故答案为：．【点评】本题考查了正切函数的反函数，属基础题．4．（3分）已知数列{an}为等比数列，a2＝1，a5＝8，则数列{an}的公比为2．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设数列{an}的公比为q，∵a2＝1，a5＝8，∴1×q3＝8，解得q＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（3分）已知sin（）＝．则cosα的值为．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：sin（）＝cosα，所以sin（）＝．则cosα＝．故答案为：．【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数求值，是基本知识的考查．6．（3分）已知无穷等比数列{an}的首项为1，公比为，则其各项的和为．【分析】利用无穷等比数列{an}的求和公式即可得出．【解答】解：无穷等比数列{an}的首项为1，公比为，则其各项的和＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（3分）（）＝1．【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．第6页（共14页）【解答】解：（）＝（）＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．8．（3分）已知φ∈[0，2π），若方程sinx﹣cosx＝2sin（x﹣φ）的解集为R，则φ＝．【分析】sinx﹣cosx＝2sin（x﹣φ）则，根据φ∈[0，2π），可得φ的值．【解答】解：∵sinx﹣cosx＝2sin（x﹣φ）∴，即，∵φ∈[0，2π），∴φ＝，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正弦公式，属基础题．9．（3分）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b、c，若△ABC的面积为，且b＝1，c＝2，则角A的弧度为．【分析】根据，结合△ABC为锐角三角形可得角A的值．【解答】解：△ABC的面积为，且b＝1，c＝2，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴A∈（0，），∴A＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的面积公式，属基础题．10．（3分）数列{an}满足an＝（n∈N*），设Sn为数列{an﹣an+1}的前n项和，则S10＝﹣第7页（共14页）【分析】求得an＝1﹣，an﹣an+1＝﹣，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：an＝＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣，an﹣an+1＝﹣，可得Sn＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣，则S10＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．11．（3分）设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝（n∈N*），则数列{an}的通项公式为an＝．．【分析】运用数列的递推式，化简计算可得所求通项公式．【解答】解：Sn＝（n∈N*），可得a1＝S1＝8；n≥3时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝4n﹣4n﹣1＝3•4n﹣1，n＝2时，S2＝16，a2＝8，则an＝．故答案为：an＝．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查化简运算能力，属于基础题．12．（3分）已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a3∈（1，2），a4∈（2，4），则a6的取值范围为．第8页（共14页）【分析】设公比为q，根据a1∈（0，1），a3∈（1，2），a4∈（2，4），可得可得q2的取值范围，再利用a6＝a4q2，即可得出．【解答】解：设公比为q，∵a1∈（0，1），a3∈（1，2），a4∈（2，4），∴，∴③÷②：1＜q＜4④，③÷①：q＞⑤∴由④⑤知，＜q＜4，∴，∴a6＝a4q2，∈．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．（3分）已知基本单位向量＝（1，0），＝（0，1），则|3|的值为（）A．1B．5C．7D．25【分析】利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．【解答】解：基本单位向量＝（1，0），＝（0，1），3＝（3，﹣4）所以|3|＝＝5．故选：B．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，是基本知识的考查．14．（3分）在学习等差数列时，我们由a1＝a1+0d，a2＝a1+ld，a3＝a1+2d，……，得到等差数列{an}的通项公式是an＝a1+（n﹣1）d，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（）A．不完全归纳法B．数学归纳法C．综合法D．分析法【分析】本题由题干可知由特殊到一般性的推理属于归纳推理，而本题并不是用数学归第9页（共14页）纳法进行的推理证明，可得到结果．【解答】解：本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法，故选：A．【点评】本题主要考察归纳法的特点，以及数学归纳法与不完全归纳法的区别．15．（3分）设Sn为数列{an}的前n项和，an+Sn＝4（n∈N*），则S4的值为（）A．3B．C．D．不确定【分析】通过数列的递推关系式，逐步求解数列的各项，然后求解S4的值．【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，an+Sn＝4（n∈N*），可得a1+S1＝4，所以a1＝2，a2+S2＝4，可得a2+a1+S2＝4，所以a2＝1，a3+S3＝4，a3+a1+a2+a3＝4，解得a3＝，a4+a1+a2+a3+a4＝4，a4＝，a4+S4＝4，可得S4＝．故选：C．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．16．（3分）小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A，B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个圆环，规定每次只能将一个圆坏从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少次数为（）A．126B．127C．l28D．l29第10页（共14页）【分析】由数列递推式及归纳推理可得：an＝2an﹣1+1，则an+1＝2（an﹣1+1），又a1＝1，所以an＝2n﹣1，即a7＝27﹣1＝127，得解．【解答】解：设A木桩上套有编号分别为1，2，3，4，5，6，7…n的n个圆环按要求全部套到B木桩上，则所需的最少次数为an，则an＝2an﹣1+1，则an+1＝2（an﹣1+1），又a1＝1，所以an＝2n﹣1，即a7＝27﹣1＝127，故选：B．【点评】本题考查了数列递推式及归纳推理，属中档题．三、解答题（本大题共5题，共52分，解答时写出必要的步骤）17．（8分）已知点G是△ABC的重心，点D在边AC上，＝2（1）用和表示；（2）用和表示．【分