第三节-曲面及其方程

第二节曲面及其方程教学目的：二次曲面教学重难点：二次曲面的图形与方程的对应关系教法：讲授课时：2一、曲面的方程：1定义设Σ为一曲面，F（x，y，z）=0或),(yxfz为一三元方程，空间中建立了坐标系以后，若Σ上任一点P（x,y,z）的坐标都满足F（x，y，z）=0或),(yxfz，而且凡坐标满足方程的点都在曲面Σ上，则称F（x，y，z）=0或),(yxfz为曲面Σ的方程，而曲面Σ叫做方程F（x，y，z）=0或),(yxfz的图形.不难看出，一点在曲面Σ上〈═〉该点的坐标满足Σ的方程，即曲面上的点与其方程的解之间是一一对应的∴Σ的方程的代数性质必能反映出Σ的几何性质.2三元方程的表示的几种特殊图形：空间中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空间中的一个曲面呢？一般而言这是成立的，但也有如下特殊情况1°若F（x，y，z）=0的左端可分解成两个（或多个）因式F1（x，y，z）与F2（x，y，z）的乘积，即F（x，y，z）≡F1（x，y，z）F2（x，y，z），则F（x，y，z）=0〈═〉F1（x，y，z）=0或F2（x，y，z）=0，此时F（x，y，z）=0表示两叶曲面1与2，它们分别以F1（x，y，z）=0，F2（x，y，z）=0为其方程，此时称F（x，y，z）=0表示的图形为变态曲面.如0),,(xyzzyxF即为三坐标面.20方程0)3(21)(),,(222222zyxzyxzyxF仅表示坐标原点和点（1，2，3）3°方程0),,(zyxF可能表示若干条曲线，如0))((),,(2222zyyxzyxF即表示z轴和x轴4°方程0),,(zyxF不表示任何实图形，如01),,(222zyxzyxF，此时，称0),,(zyxF所表示的图形为虚曲面3求法：例1：求平行于坐标面的平面的方程.解：设平行于xoy面的平面为π，π与z轴的交点为kA,0,00，则),,(zyxP∈π〈═〉210,,eePA共面010001kzyx=0即.0kz同理，平行于其他两坐标面的平面的方程为.,kzky例2：求作两定点A（1，-2，1），B（0，1，3）等距离的点的轨迹.解：（图2.1）设所求轨迹为Σ，则222)1()2()1(zyx=222)3()1(zyx〈═〉-2x+4y-2z+6=-2y-6z+10〈═〉2x-6y-4z+4=0〈═〉x-3y-2z+2=0即所求轨迹为x-3y-2z+2=0例3：求半径为R的球面的方程解：建立直角坐标系{O；i,j,k}，并设球心0M（a,b,c），则P（x,y,z）球面Σ〈═〉∣PM0∣=R〈═〉2222R)cz()by()ax(特别地，若M.（a,b,c）为坐标原点，则球面Σ的方程为x²+y²+z²=R²综合上述条例，可归纳出求曲面方程的一般步骤如下：1°建立适当的坐标系；（方程易求且求出的方程简单）2°设动点Σ坐标为P（x,y,z），并根据已知条件，推出曲面上的点的坐标应满足的方程；3°对方程作同解化简.二、曲面的参数方程：定义设DR²为有序数对集，若对任意（u，v）∈D，按照某对应规则，有唯一确定的向量r与之对应，称这种对应关系为D上的一个二元向量函数，记作r=r（u，v），（u，v）∈D定义设Σ为一曲面，r=r（u，v），（u，v）∈D为一二元向量函数，在空间坐标系下，若对任意（u，v）∈D，径向OP=r（u，v）的终点P总在曲面Σ上，而且对任意P∈Σ，也必能找到（u，v）∈D，使OP=r（u，v），则称r=r（u，v）为Σ的向量式参数方程，记作Σ：r=r（u，v），（u，v）∈D.若令r（u，v）={x（u，v），y（u，v），z（u，v）}，则称),(),(),(vuzzvuyyvuxx（u，v）∈D为Σ的坐标式参数方程，记作Σ：),(),(),(vuzzvuyyvuxx（u，v）∈D(图2.2)例：建立球面的参数方程：(图2.3)解：为简单起见，设坐标原点位于球心，球面半径为R，如图对任意M（x,y,z）∈球面Σ；令P为M在x.y面上投影，并令=∠（OP，k），则r=OM=PMOP=∣OP∣cosi+∣OP∣sinj+∣OM∣cosk=∣OM∣sincosi+∣OM∣sinsinj+∣OM∣cosk=Rsincosi+Rsinsinj+Rcosk∴球面的参数方程为xyM.OOPQMxyzcossinsincossinRzRyRx0π02π三、球坐标系与极坐标系定义空间中建立了直角坐标系之后，对空间中任一点M（x,y,z），设∣OM∣=ρ则M在以O为中心，以ρ为半径的球面上，从而存在φ，θ，使cossinsincossinzyx（*）反之，对任意ρ（ρ≥0），φ（0π），θ（02π），通过（*）也能确定空间中一点M（x,y,z），我们称有序三数组ρ，φ，θ为M点球坐标（空间极坐标），记作M（ρ，φ，θ）注：1°空间中的点与其球坐标间并非一一对应.2°已知M点的球坐标，通过（*）可求其直角坐标，而若已知M的直角坐标，则通过2222222222sin,coscosyxyyxxzyxzzyx（**）便可求其球坐标.定义空间中建立了直角坐标系之后，对M（x,y,z），设其到z轴的距离为ρ，则M落在以z轴为中心轴，以ρ为半径的圆柱面上，从而θ，u，使uzyxsincos（*）反之，对给的ρ（ρ≥0），θ（0≦θ2π），u（∣u∣）,依据（*）式也可确定空间中一点M（x,y,z），称有序三数组ρ，θ，u为M点的柱坐标，记作M（ρ，θ，u）.注：1°空间中的点与其柱坐标并非一一对应.2°曲柱面坐标求直角坐标,利用(*)即可,而由直角坐标求柱坐标,则需按下式进行.zuyxyyxxyx222222sin,cos例：在直角坐标系下，圆柱面222Ryx，双曲柱面12222byax，平面1zy和抛物柱面)0(22ppxy的图形如下：(图2.4)(图2.5)(图2.6)(图2.7)