必修五数列复习

数列定义、数列的分类、通项公式、递推公式、等差数列等比数列定义、通项公式、增减性、前n项和公式定义、通项公式、增减性、前n项和公式数列的应用一、数列的概念与简单的表示法：1.数列的概念：按照一定的顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。2.数列的分类：有穷数列;无穷数列;递增数列;递减数列；常数列；摆动数列.如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差（比）等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差（比）数列。[等差（比）数列的判定方法]1、定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差（比）数列。2．等差（比）中项：对于数列，若则数列是等差（比）数列。nadaann1nana212nnnaaana1()nnaqa212()nnnaaa3.通项公式法:(0)nnnaAnBaAqA且4.前n项和公式法:2(0)nnnSAnBnSAqAA且二、等差（比）数列的定义：qaann1dnaan)1(111nnqaadmnaamn)(mnmnqaa2)(baAabG22)1(2)(11dnnnaaanSnn1111)1(111qnaqqqaaqqaSnnnqpmnaaaaqpmnaaaapmnaaa22pmnaaa三、等差等比相关知识回顾daann1kkkkkSSSSS232,,kkkkkSSSSS232,,仍成等差仍成等比1112nnnSnaSSn等差数列等比数列定义通项通项推广中项性质求和公式关系式nnSa、适用所有数列等比中项2个题型一、求数列的通项公式。方法一：观察法：方法二：公式法：方法三：累加法：方法四：累乘法：方法七：两边取倒数法：方法五：Sn法：方法六：构造法：题型一、求数列的通项公式。1nna1,1,1,1,111,）例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：51019nna5,55,555,55565,）2)方法一：观察法：题型一、求数列的通项公式。方法二：公式法：例2：在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.511214101131aadaad这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：∴这个数列的通项公式an=-2+3(n-1)=3n-5123ad)(1nfaann题型一、求数列的通项公式。方法三：累加法：-11-1{}=1=+3{}nnnnnaaaaa中，，，求例3：已知数列的通项公式题型一、求数列的通项公式。方法四：累乘法：)(1nfaann1+1+1{}=2={}nnnnnaaaaan中，，，求例4：已知数列的通项公式题型一、求数列的通项公式。方法五：Sn法：1112,,nnnSnaSSn（1）利用Sn与n的关系求an（2）利用Sn与an的关系求an例5：已知数列的前n项和Sn=n2+1,求{an}通项公式例6：已知数列的前n项和Sn=3+2an,求{an}通项公式题型一、求数列的通项公式。方法六：构造法：1nnapaq1()nnaxpax12217{}=2nnnnaaaaa例：数列中，，。求（1）设（2）1nnnapaq解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再待定系数法解决。12218{}=1nnnnnaaaaa例：数列中，，。求1nnnmaapaq119{}=12+1nnnnnaaaaaa例：数列中，，。求题型一、求数列的通项公式。方法七：两边取倒数法：.,4,6}1{1061aaaan求是等差数列，且已知变式：方法一：公式法（方程思想）方法二：错位相减求和法方法三：裂项求和法方法四：分组求和法题型二、数列求和。方法五：合并求和方法六：倒序相加题型二、数列求和。方法一：公式法（方程思想）①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式③④⑤11()(1)22nnnaannSnad111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq1123(1)2nnn22221123(1)(21)6nnnn23333(1)1232nnn例10求和：解：当a=1时，S当a1时，111111naSa1n；111nnnaaa1111nnnSaaan+1，a=1a21111+++...++nSaaa题型二、数列求和。方法一：公式法（方程思想）设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为，则由题意得q(2)47)21((1)2)1(2qdqd21,3qd23nan121nnb解析：121)23(nnnnnbac通项特征：由等差数列通项与等比数列通项相乘而得求和方法：错位相减法——错项法例11已知数列{an}是等差数列，d0,数列{bn}是等比数列，又a1＝b1(1)求数列{an}及数列{bn}的通项公式；(2)设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn47＝1，a2b2＝2，a3b3=．题型二、数列求和。方法二：错位相减求和法121021)23(217214211nnnSnnnS21)23(21721421121321两式相减：nnnnnnnS223211)211(213121)23(2132132131211121113326642(4)82222nnnnnnnS错位相减法121)23(nnnnnbacnnccccS321221)53(nn21)53(1nn题型二、数列求和。方法三：裂项求和法题型二、数列求和。111)1(1.1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21)12)(12(1.3nnnn常见的拆项公式有：1114.()nnnnL例：求22224(2)121335(21)(21)nnSnn121121211)12)(12(11nnnnan12)1(21211211211217151513131121nnnnnnnnSn方法四：分组求和法题型二、数列求和。12235435235nnSn解：122423555nn111(22)5531215nnnn51143)1n(n1213235435235nnSn例.求题型二、数列求和。方法五：合并求和方法六：倒序相加2222214100-99+98-97+...+2-1nS例.求222215sin1+sin2+sin3+...+sin89nS例.求综合例题：已知数列{an}的前n项和Sn,对任意n∈N+,有,bn=n（1）求数列{an}的通项公式（2）求数列{bn*an}的前n项和)(32nSann变式1：求数列{an(an+1)}的前n项和变式2：求数列{bn(bn+1)}的前n项和变式3：求数列{}的前n项和变式4：求数列{bn+an)}的前n项和变式5：求数列{an+2n}的前n项和变式6：求数列{bn+(bn+1)}的前n项和)1(1nnbb等差*等比等比*等比等差*等差等差*等差倒数等差+等比等比+等比等差+等差1.求最大项2.求前n项和的最值题型三、最值问题例16.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.例16.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得11313321113111022dd∴d=－2113(1)(2)2nSnnn214nn2(7)49n∴当n=7时,Sn取最大值49.题型三、最值问题例16.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－20∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为31172n7n113Sn题型三、最值问题∴a7+a8=0例16.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又a1=130,若d≥0，则an≥0恒成立，不满足，则d0,所以数列{an}递减，a7a8,∴a70,a80∴n≤7均有an0,n≥8均有an0题型三、最值问题例16.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由100nnaa得152132nn题型三、最值问题{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质１：an=am+(n-m)d性质１：性质２：若an-k,an,an+k是{an}中的三项，则2an=an-k+an+k性质2：若bn-k,bn,bn+k是{bn}的三项，则=bn-k•bn+k性质３：若n+m=p+q则am+an=ap+aq性质3：若n+m=p+q则bn·bm=bp·bq,性质４：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质４：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为.(可推广)性质５:若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。性质５：若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn•dn}是公比为q·q′的等比数列.nmmqbnb2q2nb题型四、等差（比）数列的性质{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质6：数列{an}的前n项和为Ｓn成等差数列．性质6：数列{an}的前n项和为Ｓn成等比数列．性质７:数列{an}的前n项和为Ｓn性质７：数列{an}的前n项和为Ｓn,,,232nnnnnSSSSS,,,232nnnnnSSSSSmnnmnSqSSmnmnndSSS题型四、等差（比）数列的性质3116783{}40,?naaaaaa例已知等差数列中,则变式：在等差数列{an}中，a1－a4－a8－a12+a15=2，求a3+a13的值。解：由题a1+a15=a4+a12=2a8∴a8=－2故a3+a13=2a8=－4解：由题a32=a2a4，a52=a4a6，∴a32+2a3a5+a52=25即(a3+a5)2=25故a3+a5=5∵an＞0384756110{}9,?naaaaaaaaa已知在等比数列中,则变、已知{an}是等比数列，且a2a4+2a3a5+a4a6=25，an＞0，求a3+a5的值。例17、例18、题型四、等差（比）数列的性质例19.已知是两个等差数列，前项和,nnab88.ab分别是和且nAn,nB72,3nnAnBn求181073152157151588BAba1212nnnnBAba