随机过程期末试题及答案(2)

1课程名称：随机过程（B类）课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1.本次考试为闭卷考试。本试卷共计4页，共四大部分，请勿漏答；2.考试时间为120分钟，请掌握好答题时间；3.答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4.本试卷全部答案写在试卷上；5.答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；6.考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则X的特征函数为it(e-1)eλ。2．设随机过程X(t)=Acos(t+),-tωΦ∞∞其中ω为正常数，A和Φ是相互独立的随机变量，且A和Φ服从在区间[]0,1上的均刀分布，则X(t)的数学期望为1(sin(t+1)-sint)2ωω。3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。4．设{}nW,n1≥是与泊松过程{}X(t),t0≥对应的一个等待时间序列，则nW服从Γ分布。5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果tttettX,,3)(，则这个随机过程的状态空间212t,t,;e,e33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。6．设马氏链的一步转移概率矩阵ijP=(p)，n步转移矩阵(n)(n)ijP(p)=，二者之间的关系为(n)nPP=。7．设{}nX,n0≥为马氏链，状态空间I，初始概率i0pP(X=i)=，绝对概率{}jnp(n)PXj==，n步转移概率(n)ijp，三者之间的关系为(n)jiijiIp(n)pp∈=⋅∑。8．在马氏链{}nX,n0≥中，记{}(n)ijvn0fPXj,1vn-1,XjXi,n1,=≠≤≤==≥2(n)ijijn=1ff∞=∑，若iif1，称状态i为非常返的。9．非周期的正常返状态称为遍历态。10．状态i常返的充要条件为(n)iin=0p∞=∑∞。二．证明题（每题6分，共24分）1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BCA)=P(BA)P(CAB)。证明：左边=P(ABC)P(ABC)P(AB)P(CAB)P(BA)P(A)P(AB)P(A)===右边2.设{X(t),t³0}是独立增量过程,且X(0)=0,证明{X(t),t³0}是一个马尔科夫过程。证明：当12n0tttt时，1122nnP(X(t)xX(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)≤=nn1122nnP(X(t)-X(t)x-xX(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x)≤=nnP(X(t)-X(t)x-x)≤，又因为nnP(X(t)xX(t)=x)=≤nnnnP(X(t)-X(t)x-xX(t)=x)≤=nnP(X(t)-X(t)x-x)≤，故1122nnP(X(t)xX(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)≤=nnP(X(t)xX(t)=x)≤3.设{}nX,n0≥为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n0,1nl≥≤和i,jI∈，n步转移概率(n)()(n-)ijikkjkIpppll∈=∑，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。证明：{}(n)ijkIPPX(n)=jX(0)=iPX(n)=j,X(l)=kX(0)=i∈⎧⎫==⎨⎬⎩⎭={}kIPX(n)=j,X(l)=kX(0)=i∈∑={}{}kIPX(l)=kX(0)=iPX(n)=jX(l)=k,X(0)=i∈∑=(l)(n-l)ikkjPP∑，其意义为n步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。4.设{}N(t),t0≥是强度为λ的泊松过程，{}kY,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与{}N(t),t0≥独立，令N(t)kk=1X(t)=Y,t0≥∑，证明：若21E(Y)∞，则[]{}1EX(t)tEYλ=。3证明：由条件期望的性质[]{}EX(t)EEX(t)N(t)=⎡⎤⎣⎦，而N(t)ii=1EX(t)N(t)nEYN(t)n⎡⎤===⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑=nii=1EYN(t)n⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑=nii=1EY⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑=1nE(Y)，所以[]{}1EX(t)tEYλ=。三．计算题（每题10分，共50分）1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：costHX(t)=tTπ⎧⎨⎩,t(-,+)∈∞∞，设1p(H)=p(T)=2，求（1）{}X(t),t(,)∈−∞+∞的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。解：（1）样本函数集合为{}cost,t,t(-,+)π∈∞∞；（2）当t=0时，{}{}1PX(0)=0PX(0)=12==，故0x01F(x;0)=0x12x11⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩；同理0x-11F(x;1)=1x12x11⎧⎪⎪−≤⎨⎪≥⎪⎩2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。解：设{}N(t),t0≥是顾客到达数的泊松过程，2λ=，故{}k-4(4)PN(2)=kek!=，则{}{}{}{}{}-4-4-4-4-43271PN(2)3PN(2)=0+PN(2)=1+PN(2)=2+PN(2)=3e4e8eee33≤==+++=3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4αβ==，求,今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00011011pp0.70.3P=pp0.40.6⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，于是(2)0.610.39PPP=0.520.48⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2)0.57490.4251PPP0.56680.4332⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4)00P0.5749=。44.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。解：一步转移概率矩阵010111P=333010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，5.设有四个状态{}I=0123，，，的马氏链，它的一步转移概率矩阵110022110022P=111144440001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（１）画出状态转移图；（２）对状态进行分类；（３）对状态空间I进行分解。解：（1）图略；（2）33303132p1,ppp=而，，均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记{}1C=3；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记{}2C=01，，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达12CC，中的状态，而12CC，中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记{}D=2。（3）状态空间I可分解为：12E=DCC∪∪四.简答题（6分）简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。答：（略）111333(2)2711999111333,⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦PP(2)ijp由0知，此链有遍历性；(),,ππππ123设极限分布=，11533135151ππππππππππ==⎧⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩1123221233方程组