第十章-时间序列计量经济模型概要

第十章时间序列计量经济模型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据（time-seriesdata)；截面数据(cross-sectionaldata)平行/面板数据（paneldata/time-seriescross-sectiondata)★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。第一节时间序列基本概念一、伪回归问题⒈常见的数据类型传统计量经济学模型的假定条件：时间序列数据是平稳的。所谓“伪回归”，是指变量间本来不存在相依关系，但回归结果却得出存在相依关系的错误结论。20世纪70年代，Grange、Newbold研究发现，造成“伪回归”的根本原因在于时序序列变量的非平稳性。2、伪回归问题二、随机过程的概念有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这类随机现象已不能用一维或多维随机变量来表达。例1在测量飞机的距离时存在随机误差，若以e(t)表示时刻t的测量误差，则它是一个随机变量，飞机随时间t运动，测量误差也随时间t而变化，即e(t)是依赖于时间t的一族随机变量。则{e(t)}是一随机过程例2某国某年的GDP总量，是一随机变量，但若考查它随时间变化的情形，则{GDPt}是一随机过程。随机过程（stochasticprocess）的定义设T是无限实数集，若对于每一t∈T，Yt为一随机变量，则称随机变量族{Yt}为一个随机过程。若T为一连续区间，则{Yt}称为连续型随机过程。若T为一离散集合，如T={0,1,2,…}或T={…,-2,-1,0,1,2,…}则{Yt}称为离散型随机过程。离散型时间指标集的随机过程通常称为随机型时间序列，简称时间序列。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有很强的影响。其中有这样一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：其统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果对任意正整数n，任意t1,t2,…,tn∈T和任意实数h，n维随机变量具有相同的分布函数，则称{Yt}为平稳随机过程。),,,(21ntttYYY),,,(21hththtnYYY与三、时间序列的平稳性当T是离散型时间指标集时，也称时间序列具有平稳性（stationary)直观上，一个平稳的时间序列可以看作一条围绕其均值上下波动的曲线。在实际中，确定过程的分布函数，并用它来判定其平稳性，一般很难办到。考察一下平稳过程的数字特征（1）设平稳过程{Yt}的均值函数E(Yt)存在,由平稳性定义，随机变量Yt与Yt+h同分布，于是E(Yt)=E(Yt+h)令h=-t，则有E(Yt)=E(Y0)为常数，记为m；（2）同理，平稳过程{Yt}的方差函数也为常数，记为s2；（3）由平稳性定义，二维随机变量(Yt,Ys)与(Yt+h,Ys+h)同分布，从而Cov(Yt,Ys)=Cov(Yt+h,Ys+h)令h=-s，有Cov(Yt,Ys)=Cov(Yt-s,Y0)记r(t,s)=Cov(Yt,Ys)于是r(t,s)=r(t-s,0)=rt-s当随机过程{Yt}的均值、方差和协方差不随时间的推移而变化时，即满足：()tEYm则称{Yt}为弱平稳过程。2()tVarYs(,)(,)tsthshtsCovYYCovYYr在以后的讨论中，平稳性通常是指弱平稳，而前面用分布函数定义的平稳称为严格平稳，显然，严格平稳一定是弱平稳的，但反之一般是不成立的，但正态过程是一个例外。与平稳过程相反的是非平稳过程，一般随机过程处于过渡阶段总是非平稳的。例如，飞机控制在高度为h的水平向上飞行，由于受到大气湍流的影响，实际飞行高度H(t)应在h水平面上下随机波动，H(t)看作是平稳过程，但在升降阶段由于飞行的主要条件随时间发生变化，因而H(t)的主要特征也随时间而变化，这时H(t)是非平稳的。所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随着时间的位移而发生变化，即时间序列的数字特征随时间而变化。只要弱平稳的三个条件不完全满足，则该时间序列是非平稳的，如果采用了非平稳序列数据进行回归，可能导致所谓的“伪回归”.例1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：Yt=et，et~N(0,s2)该序列常被称为是一个白噪声（whitenoise）。由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的。例2．几种常用的非平稳时间序列模型。（1）随机游走序列（randomwalk），该序列由如下随机过程生成：Yt=Yt-1+et这里，et是一个白噪声。由于E(Yt)=E(Yt-1)+E(et)=E(Yt-1)所以该序列有相同的均值。为了检验该序列是否具有相同的方差，设Yt的初值为Y0，则易知Y1=Y0+e1Y2=Y1+e2=Y0+e1+e2……Yt=Y0+e1+e2+…+et由于Y0为常数，et是一个白噪声，因此Var(Yt)=ts2即Yt的方差与时间t有关，它是一非平稳序列。（2）带漂移项的随机游走序列（randomwalkwithdrift）Yt=a+Yt-1+et这里，a是一非零常数，称为漂移项。如果对Yt取一阶差分（firstdifference）:Yt=Yt-Yt-1=et由于et是一个白噪声，则序列{Yt}成为平稳序列。将上式写成一阶差分形式Yt=Yt-Yt-1=a+etYt向上或向下漂移，取决于a的符号是正还是负。通过直接迭代都是时间t的函数，且随时间发散到无穷大，它是非平稳时间序列。tiitiittYYY1100)(eaea于是aeatYEtYYEtiit010)()(21)()(setVarYVartiit（3）带漂移和时间趋势的随机游走序列Yt=a+bt+Yt-1+et容易证明它也是非平稳时间序列。以上三种情况，其数据生成过程都可以写成如下形式：Yt=m+gYt-1+et当m=0,g1时，为随机游走过程；当m=a,g1时，为带漂移项随机游走过程；当m=abt,g1时，为带漂移项和时间趋势的随机游走过程；第二节时间序列平稳性的单位根检验时间序列平稳性的检验方法主要有传统方法和现代方法，传统方法中主要有散点图法、自相关函数检验法。散点图法是最简单的一种平稳检验方法，通过画出时间序列的散点图，可以直观判断散点图是否围绕其平均值上下波动，如果是，则该时间序列是平稳的，否则就是非平稳的，这种方法简单直观，但精确度不高。我们把rt-s=Cov(Yt,Ys)称为时间序列{Yt}的自相关函数。自相关函数法就是看自相关函数是否为不随时间变化的常数，若是则为平稳的。否则是非平稳的。在Yt=m+gYt-1+et中，若m=0，则有Yt=gYt-1+et称时间序列为1阶自回归过程，记为AR(1)。可以证明当︱g︱1时，是平稳的，其他情况是非平稳的。1阶自回归过程可写成Yt-gYt-1=et或（1-gL)Yt=et其中，L是滞后运算符或滞后算子，即LYt=Yt-1一、单位根检验称方程1-gz=0为时间序列{Yt}的特征方程，该方程的根为z=1/g,由于当︱g︱1时序列是平稳的，这时特征方程的根︱z︱1，而如果g=1，序列的生成过程变为随机游走过程，它是非平稳的，此时z=1通常称序列含有单位根，或者说序列的生成过程为单位根过程。由此可见检验序列的非平稳性就变为检验特征方程是否有单位根。事实上，特征根z也可能落在单位圆内，这种过程称为强非平稳过程，这种过程即便作差分处理，仍然是非平稳的，换言之，当特征根落在单位圆内时，简单的数学变换是不能将这种序列作平稳化处理的，所幸的是，在非季节性的经济时间序列中，这种情况极为少见，在此不作讨论。含一个单位根的过程{Yt}，其一阶差分Yt=Yt-Yt-1=et是一个平稳序列，象这种经过一阶差分后变为平稳的序列称为一阶单整序列，记为{Yt}～I(1)。1阶自回归AR(1)可推广到k阶自回归AR(k)：Yt=1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+et可用滞后算子写为：（1-1L-2L2-…-kLk)Yt=et其特征方程为1-1z-2z2-…-kzk=0若时间序列{Yt}含有d个单位根，经过d阶差分后变为平稳，而d-1阶差分不平稳，则称为d阶单整序列，记为{Yt}～I(d)。特别地，若{Yt}本身是平稳的，则称它零阶单整序列，记为{Yt}～I(d)。二、Dickey-Fuller检验（迪克—福勒检验）大多数的经济变量都具有强烈的趋势特征，当这种趋势一旦受到冲击时，一般会出现两种情形，一是经济变量逐渐又回到长期趋势轨迹；二是没有回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态，它是非平稳的，这时如采用最小二乘法可能导致伪回归，所以有必要检验时间序列的平稳性，也就是作单位根检验。假设时间序列是由下列自回归模型生成的：Yt=gYt-1+et要检验该序列是否含有单位根，其原假设为H0:g=1检验所用的统计量为其中，et独立同分布，期望为零，方差为s2)ˆ(ˆˆgggESt其中为g的OLS估计量，g=1211ˆtttYYYg但Dickey，Fuller通过研究发现，该统计是并不服从t分布，而是服从一个非标准的，甚至是非对称的分布，从而传统的t检验失效。但其极限分布存在，一般称为Dickey-Fuller分布（DF分布）。根据这一分布所作的检验称为DF检验。步骤如下：（1）用OLS估计一阶自回归模型Yt=gYt-1+et得到g的估计量;ˆg（2）提出假设H0:g=1，计算常规t统计量：)ˆ(ˆˆgggESt（3）查DF检验临界值表得临界值，检验：若t统计量值大于或等于DF检验临界值，则拒绝原假设，说明序列不存在单位根，否则，接受原假设，说明存在单位根。Dickey，Fuller研究发现，DF检验的临界值同序列的数据生成过程以及模型的类型有关，因此他们针对以下三种模型编制了临界值表，后来麦金农（Mackinnon）把临界值表加以扩充，形成了目前使用广泛的临界值表，在Eviews软件中使用的就是Mackinnon临界值表。Yt=a+bt+gYt-1+etYt=a+gYt-1+etYt=gYt-1+et三种模型为：三、AugmentedDickeg-Fuller检验DF检验有一个前提条件:在检验所设定的模型中，随机扰动项不存在自相关。但大多数经济数据序列不能满足这一假设，当随机扰动项存在自相关时，直接使用DF检验会出现偏误。为了保证单位根的检验有效性，人们对DF检验进行拓展，从而形成了扩展的DF检验，简称为ADF检验。考虑模型：Yt=gYt-1+et（1）设et存在自相关，且具有p阶自回归形式：et=a1et-1+a2et-2+…+aket-p+ut其中，ut独立同分布，期望为零，方差为s2，且满足古典假定。由模型（1）得：Yt-1=gYt-2+et-1…Yt-P=gYt-p-1+et-p从而Yt-a1Yt-1-a2Yt-2-…-akYt-p=即Yt=gYt-1+a1(Yt-1-gYt-2)+a2(Yt-2-gYt-3)+…+aP(Yt-p-gYt-p-1)+ut+et-a1et-1-a2et-3-…-aPet-pgYt-1-a1gYt-2-a2gYt-3-…-aPgYt-p-1所以为了使单位根检验有更广的实用性，还应考虑在放宽条件下的单位根检验的统计量的分布，将DF检验右边扩展为包含Yt滞后变化量的项。tpiitittYYYeag11tpiitittYYYeaga11tpiitittYYtYeagba11滞后阶数p如何取才算适宜，要考虑两个方面的因素,一是有效校正自相关，二是自由度的损失，一般地p=1,2,3或由实验来确定。为了借用DF检验的方法，将模型变为如下式：模型I：模型Ⅱ：模型Ⅲ：可以证明,上述模型中检验原假设的t统计量的极限分布，与DF检验的极限分布相同，从而可以使用相同的临界值表，该检验称为ADF检验。协整概念是恩格尔(Engle)和葛兰杰(Granger)于20世纪80年代末提