2019年高考试题——理科数学(全国卷Ⅲ)(解析版)

-1-2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国III卷）理科数学一．选择题1、已知集合}1|{},2,1,0,1{2xxBA，则BA（）A.}1,0,1{B.B.{0,1}C.C.}1,1{D.D.}2,1,0{答案：A解答：}11|{}1|{2xxxxB，所以}1,0,1{BA.2.若iiz2)1(，则z（）A.i1B.i1C.i1D.i1答案：D解答：iiz2)1(,iiiiiiiiiz1)1()1)(1()1(212.3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.5.0B.6.0C.7.0D.8.0答案：C解答：-2-7.01006080904.42)1)(21(xx的展开式中3x的系数为（）A.12B.16C.20D.24答案：A解答：由题意可知含3x的项为33142334121211xxCxxC，所以系数为12.5.已知各项均为正数的等比数列na的前4项和为15，且53134aaa，则3a（）A.16B.8C.4D.2答案：C解答：设该等比数列的首项1a，公比q，由已知得，4211134aqaqa，因为10a且0q，则可解得2q，又因为231(1)15aqqq，即可解得11a，则2314aaq.6.已知曲线xxaeyxln在点)1(ae，处的切线方程为bxy2，则（）A.ea,1bB.ea,1bC.1ea,1bD.1ea,1b答案：D解析：令xxaexfxln)(，则1ln)(xaexfx，21)1(aef，得11eea.baef2)1(，可得1b.故选D.-3-7.函数3222xxxy在[6,6]的图像大致为（）A.B.C.D.答案：B解析：∵32()22xxxyfx，∴332()2()()2222xxxxxxfxfx，∴()fx为奇函数，排除选项C.又∵334442424(4)8222f，根据图像进行判断，可知选项B符合题意.8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A.，且直线，是相交直线B.，且直线，是相交直线C.，且直线，是异面直线-4-D.，且直线，是异面直线答案：B解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选B.9.执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（）A.B.C.D.答案：C-5-解析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；…第七次循环：，此时循环结束，可得.故选C.10.双曲线C：22142xy的右焦点为F，点P为C的一条渐近线的点，O为坐标原点.若||||POPF则PFO的面积为（）A:324B:322C:22D:32答案:A解析：由双曲线的方程22042xy可得一条渐近线方程为22yx；在PFO中||||POPF过点P做PH垂直OF因为2tanPOF=2得到32PO;所以13326224SPFO;故选A;11.若()fx是定义域为R的偶函数，且在(0,)单调递减，则（）A.233231(log)(2)(2)4fff-6-B.233231(log)(2)(2)4fffC.233231(2)(2)(log)4fffD.233231(2)(2)(log)4fff答案：C解析:依据题意函数为偶函数且函数在(0,)单调递减，则函数在(,0)上单调递增；因为3331(log)(log4)(log4)4fff；又因为233230221log4；所以233231(2)(2)(log)4fff；故选C.12.设函数()sin05fxx，已知()fx在02，有且仅有5个零点，下述四个结论：○1()fx在0,2有且仅有3个极大值点○2()fx在0,2有且仅有2个极小值点○3()fx在0,10单调递增○4的取值范围是1229,510其中所有正确结论的编号是A.○1○4B.○2○3C.○1○2○3D.○1○3○4答案：D解析：-7-根据题意，画出草图，由图可知122,xx，由题意可得，125565xx，解得12245295xx，所以2429255，解得1229510，故○4对；令52x得3010x，∴图像中y轴右侧第一个最值点为最大值点，故○1对；∵122,xx，∴()fx在0,2有2个或3个极小值点，故○2错；∵1229510，∴1149251051002，故○3对.二.填空题13.已知a，b为单位向量，且0ab，若25cab，则cos,ac.答案：23解析：∵22222545459cababab，∴3c，∵225252acaabaab，∴22cos,133acacac.14.记nS为等差数列na的前n项和，若10a，213aa，则105SS.答案：4解析：设该等差数列的公差为d，∵213aa，∴113ada，故1120,0daad，-8-∴1101101551102292102452452aaadSdaaSadd.15.设1F、2F为椭圆1203622yxC：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若21FMF为等腰三角形，则M的坐标为________.答案：)15,3(解析：已知椭圆1203622yxC：可知，6a，4c，由M为C上一点且在第一象限，故等腰三角形21FMF中8211FFMF，4212MFaMF,415828sin2221MFF,15sin212MFFMFyM，代入1203622yxC：可得3Mx.故M的坐标为)15,3(.16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型。如图，该模型为长方体1111DCBAABCD挖去四棱锥EFGHO后所得的几何体，其中O为长方体的中心，HGFE,,,分别为所在棱的中点，6BCABcm，41AAcm,3D打印机所用原料密度为3/9.0cmg，不考虑打印损耗，则作该模型所需原料的质量为g.答案：8.118解答：123221464EFGHS四边形2cm，13231231466V3cm.8.1181329.0Vmg.三．解答题-9-17.为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成BA,两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔溶度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：记C为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到)(CP的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中ba,的值；（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.答案：见解析解答:（1）依题意得12.015.015.005.07.015.02.0aba，解得1.035.0ba.（2）05.4705.061.052.043.032.0215.07.5815.072.063.0515.041.0305.0得到甲离子残留百分比的平均值为4.05,，乙离子残留百分比的平均值为5.7.18.ABC的内角ABC，，的对边分别为,,abc.已知sinsin2ACabA.(1求B;(2)若ABC为锐角三角形，且1c，求ABC面积的取值范围.答案：（1）3（2）见解析解析：因为sinsinsinsin2BABA；结合正弦定理sinsinsinsin2BABA,得cossin2sincos222BBBB,即1sin22B；得到,263BB；-10-（2）因为23AC,0,2A0,2C20,32C所以,62C又因为sinsinsinabcABC,1133sinsinsin122sin24sincASacBACC;又因为sin1(,2)sin2AC（因为2,3AC,AC为锐角，若A越大sinA越大，则C越小sinC越小；sinsinAC越大）；所以sin1(,2)sin2AC，所以33(,)82S.19.图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿折起使得与重合，连结，如图2.（1）证明：图2中的四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小.答案：见解析解析：证明：（1）由题意知，，，又，平面，又平面，平面平面.(2)分别取，的中点为，，连结，，则，四边形为棱形，且60，，又平面，，即平面，-11-以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，，，，设平面的一个法向量为,，令，则,得到，平面的一个法向量为，,故二面角的大小为.20.已知函数32()2fxxaxb.（1）讨论()fx的单调性；（2）是否存在,ab，使得()fx在区间[0,1]的最小值为1且最大值为1？若存在，求出,ab的所有值；若不存在，说明理由.答案：见解析解析：（1）2'()626()3afxxaxxx当0a时，2'()60fxx，此时()fx在(,)单调递增.当0a时，令'()0fx，解得3ax或0x，令'()0fx，解得03ax.此时()fx在(,0),(,)3a单调递增，在(0,)3a单调递减.当0a时，令'()0fx，解得0x或3ax，令'()0fx，解得03ax.此时()fx在(,),(0,)3a单调递增，在(,0)3a单调递减.综上可得，当0a时，()fx在(,)单调递增.-12-当0a时，()fx在(,0),(,)3a单调递增，在(0,)3a单调递减.当0a时，()fx在(,),(0,)3a单调递增，在(,0)3a单调递减.（2）由（1）中结论可知，当0a时，()fx在[0,1]单调递增，此时minmax()(0)1,()(1)21fxfbfxfab，∴0,1ab，满足题意.当0a时，若13a，即3a，则()fx在[0,1]单调递减，此时minmax()(1)21,()(0)1fxfabfxfb，∴4,1ab，满足题意.若13a，即03a，则()fx在[0,]3a单调递减，在[,1]3a单调递增.此时323min()()21327927aaaafxfabb∵(0),(1)2fbfba∴当02a时，max()(1)21fxfba，由可得33,331ab，与02a矛盾，故不成立.当23a时，max()(0)1fxfb，由可得332,1ab，与23a矛盾，故不成立.综上可知，0,1ab或4,1ab满足题意.21.已知曲线2:2xCy