2.4-开腔模式的物理概念和衍射理论分析资料

§2.4开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法Q：在没有侧面边界的区域中，是否存在着电磁场的本征值，即不随时间变化的稳定场分布，若存在，如何求场分布？激光介质对光的放大和损耗；镜面对光的衍射作用（损耗）考虑理想情况，损耗主要由衍射作用贡献，介质没有放大作用，则光在两镜之间传输会因衍射作用而越来越弱。可以期预，经过有限次往返后，光场的分布不再受衍射的影响。在腔内往返一次后能“再现”出发时的场分布。此稳态场经一次往返后，唯一可能变化的是镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。定义开腔镜面上经过一次往返能再现稳态场分布---自再现模或横模。自再现模一次往返的能量损耗称为模的往返损耗；一次往返所经历的相移称为往返相移，为k2——模的谐振条件。一、衍射理论的基本出发点与自再现概念二、孔阑传输线条件一系列通轴孔径孔径开在平行无限大的吸收屏上相邻孔径距离等于腔长L孔径大小等于镜的大小所有孔径的大小和形状都相同光从一个孔径传播到另一个孔径等效于光在开腔中从一个反射镜面到另一个镜面。在通过每一个孔阑时光将发生衍射，射到孔的范围以外的光将被屏吸收（对应于损耗）开腔模式形成的定性解释模拟开腔中自再现模的形成过程横模产生的物理原因过程：一均匀平面波垂直入射到第一个孔阑时，波的强度均匀分布在孔面上。通过孔阑时光将发生衍射，射到孔的范围之外的光将被屏吸收（对应损耗）。由于衍射发生在镜的边缘附近，当波到第二个孔时，边缘部分的强度比中心小，且已不是等相位面。通过等二个孔时波束又将发生衍射，每经一个孔，波的振幅和相位分布发生一次变化，但是波束受到衍射的影响越来越小。当通过足够多的孔阑后，镜面上场的振幅和相位分布不再发生变化。——自再现模不是任何形态的电磁场都能在开腔中长期存在，只有不受衍射影响的场分布才能最终稳定下来。自在现模的形成与初始入射波的形状无关，任何初始入射波也能形成自在现模。自在现模的形成过程可理解光的相干性。如果在第一孔面上的光是非相干的，由于衍射，第二个孔面上任一点的波应该看作是第一个孔面上个所有各点发出的子波的叠加（惠更斯-菲涅耳原理），即在第二个孔面上各点波的相位有关联，经过足够多的衍射后，光束横截面上各点的相位关联越密，空间相干性越强。在开腔中，从非相干的自发辐射发展成空间相干性极好的激光，正是由于衍射的作用三、惠更斯--菲涅尔衍射原理及基尔霍夫衍射积分Fresnel-Kirchoft衍射积分：若知光波场在其所到任意空间曲面上的振幅和相位分布，可求出该光场在其他任意处的振幅和相位分布。sdeyxuikyxuikscos1,4,S曲面上光场分布函数各子波源发出的球面波倾斜因子ｋ为波矢的模；ρ为源点u(x’,y’)与观察点u(x,y)之间连线的长度；θ为Ｓ面上点(x’,y’)处法线ｎ与上述连线的夹角；ｄｓ′为Ｓ面上点(x’,y’)处的面积元，积分沿整个Ｓ面进行。U1(x1,y1)U3(x3,y3)Uj+1(xj+1,yj+1)Uj(xj,yj)M1M2U2(x2,y2)场分布不变－再现•自再现条件yxUyxUjj,1,1往返次数足够多时,除表示振幅衰减和相移的常数因子外,Uj+1能再现Ujy,xujy,xuj1P(x,y)P’四、自再现模概念•衍射积分公式•自再现概念光腔中的衍射场自洽积分方程L光腔中的衍射场自洽积分方程sdeyxuikyxuikscos1,4,12sdeyxuikyxuiksjjcos1,4,11……..……..•自再现模积分方程sdeyxVikyxVikcos1,4,开腔中不受衍射影响的稳态场分布函数•自再现模积分方程(自洽积分方程）sdeyxVikyxVikcos1,4,LLyxL2cos11cos,,sdeyxVLiyxVyxyxik,,,,,yxyxikeLiyxyxK,,,,,,sdyxVyxyxKyxV,,,,,其中－积分方程的核•适用任何对称光腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）•求出V(x,y)开腔振荡模的场分布求解积分方程五、自再现模积分方程的解法其它稳定球面镜腔可通过“等价”对称共焦腔求得2.数值解(数值迭代法)2a2a2a2a...…...振幅相位1.解析解：－对称共焦腔才能得到解析解精确解近似方形镜共焦腔长椭球函数厄米～高斯函数圆形镜共焦腔超椭球函数拉盖尔～高斯函数例：平行平面腔模的迭代解法平行平面腔的优点：光束方向性好（发散角小）、模体积大、比较容易获得单横模缺点：调整精度要求极高，与稳定腔比较，损耗也比较大平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程至今尚得不到精确的解析解利用迭代公式，直接进行数值计算。首先，假定在某镜面上存在一个初始场分布u1，将其代入上式，计算u2，u3,u4等。反复运算足够多次后，判断能否满足下式'1dsKuuSjj...1,1121jjjjuuuu如果直接数值计算得到了这种稳定的场分布，则可认为找到了腔的一个自在现模或横模。2a2a2a2a以对称条形腔为例，看看平行平面腔自再现模的形成过程。求解问题：初始入射波函数u1如何选择？u11，即认为整个镜面为等相位面，镜面上各点波的振幅均为1。振幅相位将u1代入迭代得到u2，然后使u2=1，将其在代入方程求得u3….根据初始分布，经第一次及第300次渡越后得到的振幅和相位分布。300次渡越后形成自再现模。此稳态场的分布特点：镜面中心处振幅最大，从中心到边缘振幅慢慢降低，整个镜面上的场分布具有偶对称性。——此特征的横模为腔的最低阶偶对称模或基模。（TEM00）六、自再现模积分方程的解的物理意义1.本征函数形式y,ximnmnmney,xAy,xVy,xAmn－镜面上振幅分布y,xmn－镜面上场的相位分布sdey,xVLiy,xVy,x,y,xik本征值本征函数y,xVmn－镜面上场分布函数(本征函数横模)一般球面镜腔得不到解析解，唯有对称共焦腔有精确解mnimnmne2.本征值－复常数与d有关d－光场在腔中渡越一次的相对功率损耗－单程损耗－传输因子设ijjjjeueuuu111ie单程模振幅的衰减相移222212111mnmnjmnjmnjdeuuumn－量度自再现模的单程损耗,不同横模有不同的d。mn模的单程损耗3.单程相移mn－自再现模在腔内渡越一次的总相移11arguarguargmnjjmnjjiuue11几何相移根据谐振条件qmn当mn得知,可求得模的谐振频率LkLmn2附加相移自再现模在往返过程中形成稳定振荡场的条件：光在腔内一次往返的总相移=2的整数倍，即开腔自再现模的谐振条件qarg1复常数的模——量度自在现模的单程损耗，它的辐角——量度自在现模的单程相移，从而可以决定模的谐振频率。对于非对称开腔，应按照场在腔内往返一次写出模式再现条件及相应的积分方程。其中的复常数的模量度自在现模在腔内往返一次的功率损耗，的辐角量度自在现模的往返相移，从而决定模的谐振频率。