广义积分

广义积分教学目的：一、无限区间上的广义积分二、无界函数的广义积分教学重点和难点：广义积分的概念及求法教学过程：一、引入：在前面所讨论的是定积分中，都假定积分区间[a,b]是有限的，且f(x)也是有界的，但是，实际问题中，常会遇到积分区间是无限的，或者积分区间虽是有限，而被积函数在积分区间上出现了无界的情形，本节介绍的就是这两类积分的概念和计算方法。二、新授§1无穷限的广义积分定积分()bafxdx有两个明显的缺陷：其一，积分区间,ab是有限区间；其二，若[,]fRab，则0M，使得对于任意的[,]xab，|()|fxM（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中都要去掉这两个限制，把定积分的概念拓广为：（i）无限区间上的积分；（ii）无界函数的积分。一、无穷限广义积分的概念定义1设fx在[,)a上有定义，且对于任意的AAa在区间,aA上可积。当极限lim()AaAfxdx存在时，称这极限值I为fx在[,)a上的广义积分。记作lim()AaaAfxdxfxdx。如果上述的极限不存在，就称afxdx发散。类似可定义afxdx。当afxdx和afxdx都收敛时，就称fxdx收敛，并且有aafxdxfxdxfxdx。这是显然有：''limAAAAfxdxfxdx。如果上述的极限不存在，就称fxdx发散。定理1如果fx在,a连续，Fx是fx的原函数，则afxdxFFa。例：讨论1pdxx的收敛情形。无穷限积分的性质性质1若函数)(xf在,a上可积，k为常数，则)(xkf在,a上也可积，且()()aakfxdxkfxdx。即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）。性质2若函数)(xf、)(xg都在,a上可积，则)()(xgxf在,a上也可积，且有[()()]()()aaafxgxdxfxdxgxdx。性质3对无穷限积分，分布积分和换元积分法则也成立。柯西收敛原理afxdx收敛的充分必要条件是：0，0A，当',''AAA时，总有'''AAfxdx。定义2若积分afxdx收敛，就称afxdx绝对收敛。收敛但不绝对收敛的积分成为条件收敛。定理2绝对收敛的广义积分必收敛。但反之不然。二无穷限广义积分的收敛性判别法1、比较判别法设从某一值起0aa起，常有fxx，而积分afxdx收敛，那么积分afxdx绝对收敛；又如果0fxx，而积分afxdx发散，那么积分afxdx发散。2、比较判别法的极限形式如果limxfxlx，则（1）当0l时，且axdx收敛，那么积分afxdx绝对收敛；（2）当0l时，且axdx发散，那么积分afxdx发散。3、柯西判别法如果fxpcx，1p，那么afxdx绝对收敛；又如果0fxx，而积分afxdx发散，那么积分afxdx发散。定理2如果pcfxx，1p，那么afxdx绝对收敛；如果pcfxx，1p，fx自某一值起就保持定号，那么积分afxdx发散。4、柯西判别法的极限形式如果limpxxfxl，则（1）当0l时，1p，那么积分afxdx绝对收敛；（2）当0l时，1p，那么积分afxdx发散。例:讨论广义积分21sin1xdxx的敛散性。例:讨论广义积分1xxedx的敛散性。例:讨论广义积分21lndxxx的敛散性。§2无界函数的广义积分一无穷限广义积分的概念定义1设fx在xb的临近无界（我们称b点为fx的奇点），但对于任意充分小的正数，fx在,ab上可积，即0lim()bafxdx存在时，称这极限值I为无界函数fx在[,]ab上的广义积分。记作0lim()bbaafxdxfxdx。如果上述的极限不存在，就称bafxdx发散。类似可定义bafxdx（a为奇点）。如果()fx在[,]ab内部有一个奇点c，acb，当cafxdx和bcfxdx都收敛时，就称bafxdx收敛，并且有bcbaacfxdxfxdxfxdx。如果上式右边的任何一个积分发散，就称fxdx发散。例：讨论积分1bpadxxa0p的收敛性。例：讨论积分12011dxx的收敛性。无穷限积分的性质性质1定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立。柯西收敛原理bafxdx（xa是奇点）收敛的充分必要条件是：0，0，当0,'时，总有'aafxdx。定义2若积分bafxdx（xa是奇点）收敛，就称bafxdx绝对收敛。收敛但不绝对收敛的积分成为条件收敛。定理2绝对收敛的广义积分必收敛。但反之不然。二无界函数广义积分的收敛性判别法1、柯西判别法设xa是fx的奇点，如果fx()pcxa0c，1p，那么bafxdx绝对收敛。如果0()pcfxcxa，1p，那么bafxdx发散。2、柯西判别法的极限形式如果limpxxfxl，则（1）当0l时，1p，那么积分afxdx绝对收敛；（2）当0l时，1p，那么积分afxdx发散。例：求下列广义积分：10dxx，1211dxx。例：讨论广义积分10lnxdxx的收敛性。定义3设fx在,ab内无界，c是唯一的奇点。如果0limcbacfxdxfxdx存在，我们就称此极限为广义积分bafxdx的柯西主值，记为0..limbcbaacPVfxdxfxdxfxdx。同样，对于无穷限的广义积分，柯西主值为..limAAAPVfxdxfxdx作业：P131习题4.31、2