1有理数知识点+典型例题+习题要点

第1页中考数学专题复习：有理数（一）数的分类（强化记忆）0正整数正有理数正实数正分数正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数（按符号分）（按定义分、按性质分）注意点：(1)凡能写成)0pq,p(pq为整数且形式的数，都是有理数（2）正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.（3）0即不是正数，也不是负数。0是正数与负数的分界；0不仅表示没有，还表示某种量的基准。如0错误!未找到引用源。不能理解为没有温度。（4）初中范围内数是指实数正数是指正实数负数是指负实数（5）对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数例-a不一定是负数，+a也不一定是正数；（6）不是有理数，而是无理数；（7）非负整数应理解成“非负的整数”，不能理解成“‘非'负整数”，即正整数与零。例1、把下列各数填在相应的集合里正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数第2页5，-2，4.6，错误!未找到引用源。，0，-2.25，1错误!未找到引用源。，+0.34，+13，-3.1416，错误!未找到引用源。整数集合｛5，-2，0，+13，…｝非负整数集合{5，0，+13，…}负分数集合｛错误!未找到引用源。，-2.25，-3.1416，…｝正有理数集合｛5，4.6，1错误!未找到引用源。，+0.34，+13，错误!未找到引用源。｝例2：一种商品的标准价格是200元，但是随着季节的变化商品的价格可浮动±10％，（1）±10％的含义是什么？（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格。（3）如果以标准价为“基准”，超过“基准”记为“+”，低于“基准”记为“-”，那么该商品价格浮动的范围又可以怎样表示。解：（1）±10％的含义是在标准价格的基础上加价和降价的幅度不超过10％。（2）最高价格：200×（1+10％）=220（元）最低价格：200×（1-10％）=180（元）（3）180-200=-20（元）220-200=20（元）以标准价格是200元为“基准”，该商品价格浮动的范围为±20元。例3、光盘的质量标准中规定：厚度为(1.2±0.1)mm的光盘是合格品，说说1.2mm和±0.1mm所表示的意义。解：1.2mm表示光盘的标准厚度；±0.1mm表示光盘厚度最大不超过标准厚度0.1mm,最小不低于标准厚度的0.1mm.（二）正数与负数表示具有相反意义的量。这样使用负数后，在表示具有相反意义的两个词语之中，只用一个词语就可以把事情说清。如减少5hm2就可以说成增加-5hm2.(注意“两变”）常见的相反意义的量：高于与低于，零上与零下，盈利与亏损，增加与减少，上升与下降。例1.“甲比乙大-2岁”表示的意义是（A）A、甲比乙小2岁B、甲比乙大2岁C、乙比甲大-2岁D、乙比甲小2岁（三）数轴、相反数、绝对值、倒数的概念（强化记忆）1、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。（4）同一数轴的单位长度必须一致2．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.（3）互为相反数的两数绝对值相等。第3页3.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2)绝对值可表示为：)0a(a)0a(0)0a(aa或)0a(a)0a(aa；绝对值的问题经常分类讨论；注：2x的解为2x；而22，但少部分同学写成22．4.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么a的倒数是a1；a1也可表示为a-1,若ab=1a、b互为倒数；若ab＝－1a、b互为负倒数.例1.已知A、B两点坐标分别为﹣3、﹣6，若在数在线找一点C，使得A与C的距离为4；找一点D，使得B与D的距离为1，则下列何者不可能为C与D的距离（）A、0B、2C、4D、6分析：将点A、B、C、D在数轴上表示出来，然后根据绝对值与数轴的意义计算CD的长度．解：根据题意，点C与点D在数轴上的位置如图所示：在数轴上使AC的距离为4的C点有两个：C1、C2数轴上使BD的距离为4的D点有两个：D1、D2∴①C与D的距离为：C2D2=0；②C与D的距离为：C2D1=2；③C与D的距离为：C1D2=8；④C与D的距离为：C1D1=6；综合①②③④，知C与D的距离可能为：0、2、6、8．故选C．点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．（四）非负数定理：几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0（强化记忆）注：非负数：零和正数统称非负数。常见的非负数的形式：|a|、2a；例1、已知2(3)30xy,求332010()()()xxyy的值。解：∵2(3)30xy∴x-3=0,y+3=0∴x=3,y=-3∴原式=(-3)3+33-(-1)2010=-27+27-1=-1（五）实数大小的比较（强化记忆）第4页（1）利用数轴：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）利用绝对值：正数＞0＞负数，正数＞负数，两个负数，绝对值大的反而小；（5）平方法：先平方再作差（6）倒数法例1、已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示，现比较a,b,-a,-b的大小b-aa-bb0a例2、比较下面两列算式结果的大小：（在横线上选填“”、“”、“=”）……通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明。解：横线上填写的大小关系是＞、＞、、=．一般结论是：如果a、b是两个实数，则有a2+b2≥2ab）证明：作差∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0∴a2+b2≥2ab（六）实数的加、减、乘、除、乘方运算（强化记忆）1.加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.2．加法运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.3．减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.注：有理数加减法法则（口诀记法）先定符号，再计算,同号相加不变号.异号相加“大”减“小”，符号跟着“大数”跑.4.乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定,当负因数个数为奇数个时积为负，当负因数个数为偶数个时，积为正。5.乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.0,0,0ababababababab(3)作差比较法：设、是两个任意实数，则41,11mmmmnmnmnnnn（）作商比较法：设m、n是两个正实数，则第5页6．有理数除法法则：同号为正，异号为负，并把绝对值相除。除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a.7．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；8．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时:(－a)n=-an或(a－b)n=－(b－a)n,当n为正偶数时:(－a)n=an或(a－b)n=(b－a)n.特殊情况:当n为正奇数时:(－1)n=－1;当n为正偶数时:(－1)n=1注：“奇负偶正”的应用·（1）、如下符号的化简（指负号的个数与结果符号的关系），如：-{+[-(-2)]}=-2（2）、连乘式的积（指负因数的个数与结果符号的关系），如：(-1)×(-2)×(-3)×(+4)=-24(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24（3）、负数的乘方(指乘方的指数与结果符号的关系)，如：(-2)3=-8,(-3)2=9（4）、分数的符号法则（指的是分子、分母及分数本身三个符号中，同时改变两个，值不变，但改变一个或三个都改变时，分数的值就变相反了），如：212121；bababa9.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.有括号先算括号里的运算。在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.如5÷51×5.10.整数指数幂的有关运算及乘法公式①(,)mnmnaaamn是整数表述:同底数幂相乘，底数不变，指数相加，②÷(,)mnmnaaamn－是整数表述:同底数幂相除，底数不变，指数相减，③()(,)mnmnaamn是整数表述:幂的乘方，底数不变，指数相乘，④()()nnnababn是整数表述:积的乘方等于乘方的积⑤01(0)aa≠表述:任何不等于0的数的0次幂等于1⑥1(0,)ppaapa≠为正整数表述:任何不等于0的数的-p次幂,等于这个数的p次幂的倒数⑦()(nnnaanbb是整数)表述:分式的乘方等于分子分母各自乘方。⑧平方差公式：22()()ababab表述:两个数的和与两个数差的积等于这两个数的平方差。⑨完全平方和公式：第6页22()2abaabb表述:两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的乘积的2倍⑩完全平方差公式：22()2abaabb表述:两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的乘积的2倍例1、已知3,2ab,且a-b0,求a+b的值。解：∵3,2ab∴a=±3，b=±2.∵a-b0∴ab∴a=-3,b=-2或a=-3,b=2当a=-3,b=-2时a+b=（-3）+（-2）=-5当a=-3,b=2时a+b=-3+2=1∴a+b的值为-5或1例2、a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2,试求220092010()()()xabcdxabcd的值。解：∵a、b互为相反数∴a+b=0∵c、d互为倒数∴cd=1∵2x∴x=±2∴当x=2时，原式=22009201020120142017（）（）当x=-2时，原式=220092010(2)01(2)0142013（）（）例3、用“＞”，“＜”、“＝”填空。（1）212（）＝2212122(2)2(35)＝2232355（3）2[(2)(3)]＝22(2)2(2)(3)(3)请通过以上式子观察归纳，试猜想：对于任意两个数a、b总有22()2abaabb结论成立。例4、计算、观察、猜想与应用：（1）算一算：下面两组算式235（）与2235；2[(2)3]与22(2)3,每组两个算式的结果是否相同？（2）想一想：3()ab等于什么？（3）猜一猜：当n为正整数时，()nab等于什么？你能用乘方的意义说明理由吗？（4）用一用：利用上述结论，求201120121(8)()8的值。解:(1)∵223515225（），2235925225