1.2.1(公开课)绝对值三角不等式

在数轴上，你能指出实数a的绝对值|a|的几何意义吗？它表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离Oa||axAab||abxBAO复习引入||ab的几何意义是什么？数轴上A,B两点间的距离两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。·10·x·20思考公路牌讲解新课探究：用恰当的方法在数轴上把|a|、|b|、|a+b|表示出来，你能发现它们之间的关系吗？（a、b是实数）（1）a·b0时，如下图易得：|a+b||a|+|b|（2）a·b0时，如下图易得：|a+b||a|+|b|（3）a·b=0时，显然有：|a+b||a|+|b|综上可得：xabOa+bxabOa+bxabOa+bxabOa+b==定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。这个不等式称为绝对值三角不等式。讲解新课探究：若把a,b换为向量，,情形又怎样呢？ababababab如果把,ab换为向量,ab，根据向量加法的三角形法则,易知abab≤.(同向时取等号)证明:10.当ab≥0时,||,||()||||||||(||||)||||22222222ababababaabbaabbabab20.当ab0时,||,||()||||||||||||||(||||)||||22222222222ababababaabbaabbaabbabab综合10,20知定理成立.为了更好的理解定理1，我们再用代数推理的角度给予证明讲解新课如果a,b是实数，那么|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|注意：定理1的推广形式：讲解新课推广1：如果a,b是实数，那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|如果a,b是实数，那么|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|推广2：根据定理1，有|a+b|+|-b|≥|a+b-b|=|a|所以：|a+b|≥|a|-|b|将推广1中的b换成-b即可。定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。讲解新课探究：你能给出定理2的几何解释吗？例1已知ε0,|x-a|ε,|y-b|ε,求2x+3y-2a-3b|5ε证:证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2ε+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|5ε.|典型例题：例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？(().)2(|10||20|)()2(|10||20|)SxxxSxxxkmSxkmxx分析：如果生活区建于公路路牌的第处，两个施工队每天往返的路程之和为，那么，于是，上面的问题就化归为数学问题：当取何值时，函数取得最小值这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解.典型例题：()2(|10||()20|)SxkmSxkmxxx解：设生活区应建于公路路牌的第处，两个施工队每天往返的路程之和为，则，|10||20||10||20|10xxxx因为，(10)(20)0.1020.xxx当且仅当时取等号解得所以生活区应建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路程之和最小.典型例题：1．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．解析：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.答案：51当堂检测：2．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号．∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值2.当堂检测：3．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|a恒成立，求a的取值范围．解：a|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，∴a[|x＋1|－|x－2|]min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3.∴a－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．当堂检测：高考连线：（2014—江西高考）对任意x，y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4C课堂小结：定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。定理1的推广形式：如果a,b是实数，那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。课外作业：1．必做：课本P19第2，4，52．选作：求证.111bbaababa