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数学物理方程答案数学物理方程第二版答案第一章.波动方程§1方程的导出。定解条件1.细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移,假设振动过程发生的张力服从虎克定律,试证明),(txu满足方程xuExtuxt其中为杆的密度,E为杨氏模量。证:在杆上任取一段,其中两端于静止时的坐标分别为x与xx。现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为:),();,(txxuxxtxux其相对伸长等于),()],([)],([txxuxxtxuxtxxuxxx令0x,取极限得在点x的相对伸长为xu),(tx。由虎克定律,张力),(txT等于),()(),(txuxEtxTx其中)(xE是在点x的杨氏模量。设杆的横截面面积为),(xS则作用在杆段),(xxx两端的力分别为xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,().,(txx于是得运动方程ttuxxsx)()(xESutx),(xxxxxESuxx|)(|)(利用微分中值定理,消去x,再令0x得ttuxsx)()(xxESu()若)(xs常量,则得22)(tux=))((xuxEx即得所证。2.在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支承上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。数学物理方程答案解:(1)杆的两端被固定在lxx,0两点则相应的边界条件为.0),(,0),0(tlutu(2)若lx为自由端,则杆在lx的张力xuxEtlT)(),(|lx等于零,因此相应的边界条件为xu|lx=0同理,若0x为自由端,则相应的边界条件为xu∣00x(3)若lx端固定在弹性支承上,而弹性支承固定于某点,且该点离开原来位置的偏移由函数)(tv给出,则在lx端支承的伸长为)(),(tvtlu。由虎克定律有xuE∣)](),([tvtluklx其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件)(uxu∣)(tflx其中Ek特别地,若支承固定于一定点上,则,0)(tv得边界条件)(uxu∣0lx。同理,若0x端固定在弹性支承上,则得边界条件xuE∣)](),0([0tvtukx即)(uxu∣).(0tfx3.试证:圆锥形枢轴的纵振动方程为2222)1(])1[(tuhxxuhxxE其中h为圆锥的高(如图1)证:如图,不妨设枢轴底面的半径为1,则x点处截面的半径l为:hxl1所以截面积2)1()(hxxs。利用第1题,得])1([)1()(2222xuhxExtuhxx若ExE)(为常量,则得2222)1(])1[(tuhxxuhxxE数学物理方程答案4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定,在它本身重力作用下,此线处于铅垂平衡位置,试导出此线的微小横振动方程。解:如图2,设弦长为l,弦的线密度为,则x点处的张力)(xT为)()(xlgxT且)(xT的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以),(txu表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移,取弦段),,(xxx则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为)(sin))(();(sin)(xxxxlgxxlg其中)(x表示)(xT方向与x轴的夹角又.sinxutg于是得运动方程xuxxltux)]([22∣xuxlgxx][∣gx利用微分中值定理,消去x,再令0x得])[(22xuxlxgtu。5.验证2221),,(yxttyxu在锥222yxt0中都满足波动方程222222yuxutu证:函数2221),,(yxttyxu在锥222yxt0内对变量tyx,,有二阶连续偏导数。且tyxttu23222)(2252222322222)(3)(tyxtyxttu)2()(22223222yxtyxtxyxtxu23222)(数学物理方程答案22522223222223xyxtyxtxu222252222yxtyxt同理22225222222yxtyxtyu所以.222222252222222tuyxtyxtyuxu即得所证。6.在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b),但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.解:利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段xxx,上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为tub,故xxx,上所受摩阻力为tuxxsxpb运动方程为:tuxxsxbxxuEStuEStuxxsxxx22利用微分中值定理,消去x,再令0x得.22tuxsxbxuESxtuxsx若)(xs常数,则得tuxbxuExtux22若则得方程令也是常量是常量,.,2EaExEx.22222xuatubtu§2达朗贝尔公式、波的传抪1.证明方程数学物理方程答案常数011122222htuhxaxuhxx的通解可以写成xhatxGatxFu其中F,G为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:.,:0xtuxut解:令vuxh则xvuxhxuxhxvuxuxh2,))(()()()()[(2222xvuxhxuxhxuxhxvuxuxhx又2222tvtuxh代入原方程,得222221tvxhaxvxh即222221tvaxv由波动方程通解表达式得atxGatxFtxv,所以xhatxGatxFu为原方程的通解。由初始条件得)1(1xGxFxhxxaGxaFxhx//1数学物理方程答案所以)2(10cdhaxGxFxx由)2(),1(两式解出22121cdhaxxhxFxxo22121cdhaxxhxGxxo所以)]()()()[()(21),(atxatxhatxatxhxhtxu+atxatxhxha()()(21.)d即为初值问题的解散。2.问初始条件)(x与)(x满足怎样的条件时,齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成?解:波动方程的通解为u=F(x-at)+G(x+at)其中F,G由初始条件)(x与)(x决定。初值问题的解仅由右传播组成,必须且只须对于任何tx,有G(x+at)常数.即对任何x,G(x)C0又G(x)=xxaCdax02)(21)(21所以)(),(xx应满足)(xxxCda01)(1(常数)或'(x)+)(1xa=03.利用传播波法,求解波动方程的特征问题(又称古尔沙问题)).()(0022222xuxuxuatuatxatx)0()0(数学物理方程答案解:u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令x-at=0得)(x=F(0)+G(2x)令x+at=0得)(x=F(2x)+G(0)所以F(x)=)2(x-G(0).G(x)=)2(x-F(0).且F(0)+G(0)=).0()0(所以u(x,t)=()2atx+)2(atx-).0(即为古尔沙问题的解。4.对非齐次波动方程的初值问题)()(),(,0),0(),(22222xxtuxutxttxfxuatu证明:(1)如果初始条件在x轴的区间[x1,x2]上发生变化,那末对应的解在区间[1x,2x]的影响区域以外不发生变化;(2)在x轴区间[2,1xx]上所给的初始条件唯一地确定区间[21,xx]的决定区域中解的数值。证:(1)非齐次方程初值问题的解为u(x,t)=atxatxaatxatx21)]()([21d)(+ttaxtaxddfa0)()(.),(21当初始条件发生变化时,仅仅引起以上表达式的前两项发生变化,即仅仅影晌到相应齐次方程初值的解。当),(x)(x在[2,1xx]上发生变化,若对任何t0,有x+atx1或x-atx2,则区间[x-at,x+at]整个落在区间[2,1xx]之外,由解的表达式知u(x,t)不发生变化,即对t0,当xx1-at或xx2+at,也就是(x,t)落在区间[21,xx]的影响域)0(2tatxxatxt数学物理方程答案之外,解u(x,t)不发生变化。(1)得证。(2).区间[21,xx]的决定区域为atxxatxt21,0在其中任给(x,t),则21xatxatxx故区间[x-at,x+at]完全落在区间[21,xx]中。因此[21,xx]上所给的初绐条件)(),(xx代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。5.若电报方程GRuuLGCRCLuutttxx为常数GRLC,,,具体形如atxfttxu,的解(称为阻碍尼波),问此时GRLC,,,之间应成立什么关系?解atxfttxu,atxftuxxatxftaatxftutatxftaatxftaatxftutt22代入方程,得0212atxftGRtGRtLGCRtCLatxftLGCRataCLatxftCLa由于f是任意函数,故fff,,的系数必需恒为零。即002012tGRtLGCRtCLtLGCRtCLCLa于是得21aCLLGCRatutu22所以tLGCRaectu202数学物理方程答案代入以上方程组中最后一个方程,得0242224GRLGCRaLGCRaCL又GRCLLGCRCLa2241,1得即02LGCR最后得到RGLC6.利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题00,000,002ttuxxuxuuautttxxtt解:满足方程及初始条件的解,由达朗贝尔公式给出:atxatxdaatxatxtxu2121,。由题意知x
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