数学建模：居民收入对汽车保有量影响

用回归分析的方法研究北京居民收入对汽车保有量的影响广东省德庆县香山中学梁伙明指导老师谢庆生【摘要】本文采用回归分析的方法研究北京市的保有量和居民收入的关系。通过分析数据、建立数学模型，通过最小二乘估计得到一个拟合函数：ý=1O9.9Ox-789.85，用这个函数预测北京市汽车保有量的未来发展情况，帮助政府在城市建设的时候做出正确决策。关键词：汽车保有量，居民收入一、前言改革开放以来，我国北京市居民的居民收入已经大大增加，居民的购买力增加，汽车成为人民青睐。汽车已越来越多地走入普通人的家庭，随着汽车数量的增加，城市的交通压力越来越大，城市阻塞，热岛效应越来越明显。如何去控制和预测未来的汽车拥有量已经成为一个非常重要的问题。二、问题分析下表是我从网上找来的数据（数据来源网址在最后一页），再使用MicrosoftExcel重新编辑得来，整理结果如表1：年份19951996199719981999200020012002收入（元）58686886781384729183105501157812464保有量(百辆)58946218784389859514104121144713393表1再通过MicrosoftExcel编辑得到其折线图如图1：图1从上图可以看出：随着居民收入的增加汽车保有量也在增加。两者存在着明显的线性关系，因此可以用线性回归的方法对其进行研究，这样就可以把它转化为数学模型来研究。三、模型假设影响汽车拥有量的因素：居民的收入水平、汽车价格、购车后的其它附加消费等。在这里，我们将汽车的价格、购车后的附加费用归结于居民的收入因素，忽略这些因素从而得到汽车保有量与居民收入的函数关系。符号符号说明符号符号说明x居民收入ê残差y汽车保有量r相关系数020004000600080001000012000140001600012345678汽车保有量（百辆）居民收入（元）xˉX的平均数R²相关系数的平方yˉY的平均数∑求和ý=bx+â回归直线方程,b为斜率，â为截距四、模型的建立与求解居民收入对汽车保有量影响有多大呢？下面，我就对居民收入与汽车保有量之间的关系建立数学模型。在这里，我以居民收入为变量(ⅹ)，汽车保有量为因变量（ｙ）。采用最小二乘法计算出其线性回归方程，通过最小二乘法求得一条“最优”的直线。我的想法就是找一条直线，使得实测点至该直线的纵向距离｛即残差（y−ý）}的平方和最小，此平方和称为残差平方和，记为ê残差。残差平方和越小，该直线对散点趋势的代表性越好。但在这里，我们用Ｒ²来刻画模型的拟合效果｛R²恰好等于相关系数r的平方）R²=1-∑(y-ý)²/∑(y-yˉ)²｝。该方法以最小二乘估计为理论依据。表2年份19951996199719981999200020012002收入（x）58.6868.8678.1384.7291.83105.50115.78124.64保有(y)58946218784389859514104121144713393图2年份19951996199719981999200020012002总计收入（百元）58.6868.8678.1384.7291.83105.5115.78124.64728.14保有量（百辆）5894621878438985951410412114471339373706保有量与收入的散点图0200040006000800010000120001400016000020406080100120140百元百辆由最小二乘法估计得到以下结果：(为方便计算，计算过程以及结果均取小数点后两位)ý=1O9.9Ox-789.85b=109.90是回归直线方程的斜率估算值，这是说明居民收入与汽车保有量具有正相关的线性关系。但是所有的样本点并不共线，而只是散布在这条直线的附近，所以居民收入与汽车保有量的关系可以用线性回归模型：ý=109.90x-789.85+e来表示。事实上，汽车保有量除了受居民收入影响外，还有其他许多因素的影响。实际上，我无法知道汽车保有量与居民收入的确切关系是什么，这里只是利用线性回归方程来近似这种关系。这也是产生误差的原因。接下来我们就来讨论回归方程的拟合效果。我们在前面提到要用Ｒ²来刻画模型的拟合效果{R²=1-∑(y-ý)²/∑(y-yˉ)²}，对于已经获取的样本数据，Ｒ²表达式中∑(y-yˉ)²是一个确定的数，Ｒ²的大小由∑(y-ý)²来决定，因此，Ｒ²越大就意味着残差平方和∑(y-ý)²越小，拟合效果就越好；Ｒ²越小就意味着拟合效果越差；在线性回归模型里，Ｒ²取值在0到1之间，Ｒ²越接近1，表示回归效果越好。因此，只要算出这个回归方程的Ｒ²我们就能知道这个回归方程的拟合效果。经计算得到这个回归方程的Ｒ²=0.97.由此可见，这个回归方程的拟合效果是很好的。可以说：汽车保有量有97%是居民收入引起的。五、得出结论从以上结果我们可以知道:汽车保有量与居民收入存在着相关关系，从其图像走势分析北京市的居民收入越高，汽车保有量就越多，从其函数关系，我们可以预测北京以后几年的汽车保有量。但是，这种统计结果只是考虑收入水平因素影响，因而其预测结果会与实际有偏差。除此以外，它还有一定的局限性。比如，以上探讨的问题只是针对北京市区域并只适用于一定时间内，并不适用于其他地区或百年之后的北京。由于本人的知识有限，存在着很多不完善的地方，但我相信任何的付出都是有价值的。六、相关建议和应用由于居民收入对汽车保有量的影响很大，所以我们可以通过这个回归方程来预测北京未来的汽车保有量。预测的结果对城市的建设者来说是非常重要的，因此，我们对当地政府提出以下建议：1.利用函数关系预测未来的汽车保有量，并对此作出相应的决策。比如，如果预测到汽车保有量会增加，政府就应该提前建设相应的配套设施：停车位，加油站，公路等。以防止可能出现的停车难，加油难，交通阻塞等问题。2.居民收入是影响汽车报保有量的主要因素，因此，要促进本地汽车工业，汽车服务业的发展就要先提高居民的收入，注意初分配、再分配的公平，降低税收，降低贷款利率等，以促进内需，刺激经济。3.当今世界能源问题尤为突出，适当的控制汽车的数量也有为重要。当预测到汽车数量增长过快，可以做出相应的决策来限制汽车保有量的增长。对减少碳排放、降低热岛效应、缓解交通压力、抑制全球变暖等也有重要意义。七、数据来源1.1995－2002年份北京市民用汽车保有量数据来源于：汽车行业统计数据-中国行业资讯大全汽车行业卷-hc360慧聪网汽车行业频道2.北京居民人均收入来源于：图片：北京商业地产白皮书-上海经理人圈-焦点房地产-搜狐圈子的第三个表格3.相关公式:数学选修2-3