高考总复习-集合与函数概念知识点及习题

启迪教育第1页共52页第一章集合与函数概念知识网络第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言符号语言属于不属于4.常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN或NZQRC集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子集交集并集补集函数函数及其表示函数基本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表示法映射映射的概念集合与函数概念启迪教育第2页共52页二：集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同BA且ABBA子集A中任意一元素均为B中的元素BA或AB真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A，B（B）三：集合的基本运算①两个集合的交集:AB=xxAxB且;②两个集合的并集:AB=xxAxB或;③设全集是U,集合AU,则UCAxxUxA且交并补{|,}ABxxAxB且{|,}ABxxAxB或UCAxxUxA且方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，)(xfyx如、)(xfyy、)(),(xfyyx等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：启迪教育第3页共52页问题：已知集合221,1,9432xyxyMxNy则MN=（）A.；B.)2,0(),0,3(；C.3,3；D.3,2(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A（2）任何集合都是它本身的子集，即AA（3）子集、真子集都有传递性，即若BA，CB，则CA4．集合的运算性质（1）交集：①ABBA；②AAA；③A；④ABA，BBA⑤BAABA；（2）并集：①ABBA；②AAA；③AA；④ABA，BBA⑤ABABA；（3）交、并、补集的关系①ACAU；UACAU②)()()(BCACBACUUU；)()()(BCACBACUUU★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：|,,ABzzxyxAyB．设1,2,0,2AB，则集合AB的所有元素之和为（）A．0；B．2；C．3；D．6题型2：集合间的基本关系[例2]．数集ZnnX,)12(与ZkkY,)14(之的关系是（）A．XY；B．YX；C．YX；D．YX[新题导练]1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）A．BAB.CBC.CBAD.ACB启迪教育第4页共52页2．(2006•山东改编）定义集合运算:ByxxyyxBA,,zA22,设集合1,0A,3,2B,则集合BA的所有元素之和为3．(2007·湖北改编）设P和Q是两个集合，定义集合QPQxPxx且,|，如果P=(0,3)，1xxQ,那么QP等于4．研究集合42xyxA，42xyyB，4),(2xyyxC之间的关系考点二：集合的基本运算[例3]设集合0232xxxA，0)5()1(222axaxxB（1）若2BA，求实数a的值；若ABA，求实数a的取值范围[新题导练]7．已知集合2),(yxyxM，4),(yxyxN，那么集合NM为（）A.1,3yx；B.)1,3(；C.1,3；D.)1,3(8．集合{|10}Axax,2|320Bxxx,且ABB,求实数a的值.备选例题1：已知1xyyM，1),(22yxyxN，则NM中的元素个数是（）A.0；B.1；C.2；D.无穷多个★抢分频道基础巩固训练：1．设全集R,(3)0,1UAxxxBxx,则右图中阴影部分表示的集合为()A．0xx；B．30xx；C．31xx；D．1xx3.集合{1,0,1}的所有非空子集个数为4.（09年无锡市高三第一次月考）集合A中的代表元素设为x，集合B中的代表元素设为y，若Bx且Ay，则A与B的关系是[解析]AB或AB；由子集和交集的定义即可得到结论5．(2008年天津)设集合RTSaxaxTxxS,8|,32|，则a的取值范围是（）A．13a；B．13aC．3a或1a；D．3a或1a[解析]A；5132|xxxxxS或，8|axaxT，RTSUBA启迪教育第5页共52页所以581aa，从而得13a综合提高训练：6．01mmP,恒成立对于任意实数xmxmxRmQ0442则下列关系中立的是()A．PQ;B．QP;C．QP;D．QP[解析]A；当0m时，有0)4(4)4(02mmm，即01mRmQ；当0m时，0442mxmx也恒成立，故01mRmQ，所以PQ7.设)(12)(Nnnnf，5,4,3,2,1P，7,6,5,4,3Q，记PnfNnP)(ˆ，QnfNnQ)(ˆ，则)ˆˆ()ˆˆ(PCQQCPNN＝()A.3,0;B.2,1;C.5,4,3;D.7,6,2,1[解析]A；依题意得2,1,0ˆP，3,2,1ˆQ，所以0)ˆˆ(QCPN，3)ˆˆ(PCQN，故应选A8．（09届惠州第一次调研考）设A、B是非空集合，定义{}ABxxABxAB且，已知A=2{|2}xyxx，B={|2,0}xyyx，则A×B等于（）A．0,；B．0,12,；C．0,12,；D．0,1(2,)[解析]D；22002xxx，∴A=[0，2]，021xx，∴B=（1，＋∞），∴A∪B=[0,＋∞），A∩B=（1，2]，则A×B＝0,1(2,)第2讲函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念(1)函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),(启迪教育第6页共52页(2)函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(xfy的定义域为][ba，，求)2(xfy的定义域[误解]因为函数)(xfy的定义域为][ba，，所以bxa，从而222bxa故)2(xfy的定义域是]2,2[ba[正解]因为)(xfy的定义域为][ba，，所以在函数)2(xfy中，bxa2，从而22bxa，故)2(xfy的定义域是]2,2[ba即本题的实质是求bxa2中x的范围问题2：已知)2(xfy的定义域是][ba，，求函数)(xfy的定义域[误解]因为函数)2(xfy的定义域是][ba，，所以得到bxa2，从而22bxa，所以函数)(xfy的定义域是]2,2[ba[正解]因为函数)2(xfy的定义域是][ba，，则bxa，从而222bxa所以函数)(xfy的定义域是]2,2[ba即本题的实质是由bxa求2x的范围即)(xf与)2(xf中x含义不同2．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数启迪教育第7页共52页4cos2sin2xxy，可变为2)1(cos4cos2sin22xxxy解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域由22122xxxy得012)1(22yxyyx，若0y，则得21x，所以0y是函数值域中的一个值；若0y，则由0)12(4)]1(2[2yyy得021332133yy且，故所求值域是]2133,2133[（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1cos3cos2xxy的值域，因为1cos521cos3cos2xxxy，而]2,0(1cosx，所以]25,(1cos5x，故]21,(y（5）利用基本不等式求值域：如求函数432xxy的值域当0x时，0y；当0x时，xxy43，若0x，则4424xxxx若0x，则4)4()(2)4(4xxxxxx，从而得所求值域是]43,43[（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(2224xxxy的值域因)14(22823xxxxy，故函数])2,1[(2224xxxy在)21,1(上递减、在)0,21(上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为]30,815[（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。★热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数[例1]试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；启迪教育第8页共52页（2）xxxf)(，;01,01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（n∈N*）；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tt