导数的不等式恒成立问题

1导数的应用【考查重点与常见题型】题型一运用导数证明不等式问题例1设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减2(1－ln2＋a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2]，单调递增区间是[ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当aln2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.于是对任意x∈R，都有g′(x)0，所以g(x)在R上是增加的．于是当aln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)0.即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.已知f(x)＝xlnx.(1)求g(x)＝fx＋kx(k∈R)的单调区间；(2)证明：当x≥1时，2x－e≤f(x)恒成立．解：(1)g(x)＝lnx＋kx，∴令g′(x)＝x－kx2＝0得x＝k.∵x0，∴当k≤0时，g′(x)0.∴函数g(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当k0时g′(x)0得xk；g′(x)0得0xk，∴增区间为(k，＋∞)，减区间为(0，k)．(2)证明：设h(x)＝xlnx－2x＋e(x≥1)，令h′(x)＝lnx－1＝0得x＝e，2h(x)，h′(x)的变化情况如下：x1(1，e)e(e，＋∞)h′(x)－1－0＋h(x)e－20故h(x)≥0.即f(x)≥2x－e.题型二利用导数研究恒成立问题例2已知函数f(x)＝lnx－ax.(1)若a0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为32，求a的值；(3)若f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1x＋ax2＝x＋ax2.∵a0，∴f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上是增加的．(2)由(1)可知，f′(x)＝x＋ax2.①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是增加的，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝32，∴a＝－32(舍去)．②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是减少的，∴f(x)min＝f(e)＝1－ae＝32，∴a＝－e2(舍去)．③若－ea－1，令f′(x)＝0得x＝－a，当1x－a时，f′(x)0，∴f(x)在(1，－a)上是减少的；当－axe时，f′(x)0，∴f(x)在(－a，e)上是增加的，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32，∴a＝－e.综上所述，a＝－e.(3)∵f(x)x2，∴lnx－axx2.又x0，∴axlnx－x3.令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝1x－6x＝1－6x2x.3∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减少的．∴h(x)h(1)＝－20，即g′(x)0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是减少的．g(x)g(1)＝－1，∴当a≥－1时，f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是__________．答案[4，＋∞)解析当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x－1x3，设g(x)＝3x－1x3，x∈(0,1]，g′(x)＝3x3－3x－13x2x6＝－6x－12x4，g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：x0，121212，1g′(x)＋0－g(x)4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011·辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.(1)解f′(x)＝1＋2ax＋bx.[1分]由已知条件得f1＝0，f′1＝2，即1＋a＝0，1＋2a＋b＝2.解得a＝－1，b＝3.[4分](2)证明因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则g′(x)＝－1－2x＋3x＝－x－12x＋3x.[8分]当0x1时，g′(x)0，当x1时，g′(x)0.所以g(x)在(0,1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的．[10分]4而g(1)＝0，故当x0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.[12分]一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案B解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根．∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)0，即a2－3a－180.∴a6或a－3.2．曲线y＝f(x)＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.94e2B．2e2C．e2D.e22答案D解析∵点(2，e2)在曲线上，∴切线的斜率k＝f′(2)＝e2，∴切线的方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e2)，(1,0)，∴S△＝12×1×e2＝e22.3．已知函数f(x)＝x2＋mx＋lnx是单调递增函数，则m的取值范围是()A．m－22B．m≥－22C．m22D．m≤22答案B解析依题意知，x0，f′(x)＝2x2＋mx＋1x，令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)，当－m4≤0时，g(0)＝10恒成立，∴m≥0成立，当－m40时，则Δ＝m2－8≤0，∴－22≤m0，综上，m的取值范围是m≥－22.4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产5量x的年关系是R＝R(x)＝400x－12x20≤x≤400，80000x400，则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100B．150C．200D．300答案D解析由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20000＋100x，总利润P(x)＝300x－x22－200000≤x≤400，60000－100xx400，又P′(x)＝300－x0≤x≤400，－100x400，令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．二、填空题(每小题5分，共15分)5．设P为曲线C：y＝f(x)＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是__________．答案34，3解析设P(a，a2－a＋1)，则f′(x)＝2a－1∈[－1,3]，∴0≤a≤2.而g(a)＝a2－a＋1＝a－122＋34，当a＝12时，g(a)min＝34.当a＝2时，g(a)max＝3，故P点纵坐标的取值范围是34，3.6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)．答案63d解析截面如图所示，设抗弯强度系数为k，强度为ω，则ω＝kbh2，又h2＝d2－b2，∴ω＝kb(d2－b2)＝－kb3＋kd2b，ω′＝－3kb2＋kd2，令ω′＝0，得b2＝d23，∴b＝33d或b＝－33d(舍去)．∴h＝d2－b2＝63d.7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．6答案－13解析对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上是减少的，在(0,1)上是增加的，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图像开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.三、解答题(共22分)8．(10分)设函数f(x)＝ax3－3x2(a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点．(1)求实数a的值，并求函数的单调区间；(2)求函数g(x)＝ex·f(x)的单调区间．解(1)f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．所以y＝f(x)的单调增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；单调减区间是(0,2)．(2)g(x)＝ex(x3－3x2)，g′(x)＝ex(x3－3x2＋3x2－6x)＝ex(x3－6x)＝x(x＋6)(x－6)ex，因为ex0，所以y＝g(x)的单调增区间是(－6，0)，(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)，(0，6)．