随机过程习题及答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。解：当时，＝＝1.2设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：所以：2.1袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t时取得白球如果对时取得红球如果对tetttXt3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。2.3是随机变量，且，其中设随机过程UtUtX2cos)(求：，.5)(5)(UDUE.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程UUttYUttX,)()(32.5)(UD随机变量，且数。试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设BAttXBA3)(,,的均值),(Tt相互独若函数和自相关函数BA,.),()(),2,0(~),4,1(~,21ttRtmUBNAXX及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()Nt表示(0,)t时间内的体检人数，则()Nt为参数为30的poisson过程。以小时为单位。则((1))30EN。40300(30)((1)40)!kkPNek。3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1，2，当1路公共汽车有1N人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N=2N，1=2时，计算上述概率。解：法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1、2的poisson过程，令它们为1()Nt、2()Nt。1NT表示1()Nt=1N的发生时刻，2NT表示2()Nt=2N的发生时刻。1111111111()exp()(1)!NNNTftttN2221222222()exp()(1)!NNNTftttN1212121221112,12|12211122212(,)(|)()exp()exp()(1)!(1)!NNNNNNNNNTTTTTfttfttftttttNN12212121112211122210012()exp()exp()(1)!(1)!NNtNNNNPTTdtttttdtNN（2）当1N=2N、1=2时，12121()()2NNNNPTTPTT法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为1+2的泊松过程。令1Z、2Z分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。则1Z、2Z分别服从参数为1、2的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。2122111222100()exp()exp()zpPZZdzzzdz112。故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-p212上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度1+2的泊松过程时，乘客分别以112概率乘坐公共汽车1，以212的概率乘坐公共汽车2。将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：121111111211212(1=()()NNNNkNkkNPC路汽车比2路汽车先出发）（2）当1N=2N、1=2时2121111111111(1=()()2222NNNkNkkkkNkNPCC路汽车比2路汽车先出发）3.3设{(),0}iNtt，(1,2,,)in是n个相互独立的Poisson过程，参数分别为i(1,2,,)in。记T为全部n个过程中，第一个事件发生的时刻。（1）求T的分布；（2）证明1{()(),0}niiNtNtt是Poisson过程，参数为1nii；（3）求当n个过程中，只有一个事件发生时，它是属于1{(),0}Ntt的概率。解：（1）记第i个过程中第一次事件发生的时刻为1it，1,2,...,in。则1min{,1,2,...,}iTtin。由1it服从指数分布，有111111{}1{}1{min{,1,2,...,}}1{,1,2,...,}1{}1{1(1)}1exp{}iiniiinntiiiPTtPTtPtintPttinPttet（2）方法一：由{(),1,2,...,}iNtin为相互独立的poisson过程，对于,0st。11111{()()}{[()()]}{()(),,1,2...,}(exp(()))!()exp(())!nniinniniiiiiiinnnniiiiinniniiiPNtsNtnPNtsNtnPNtsNtnnninssnssn这里利用了公式11(...)!!inninnniniinn所以1{()(),0}niiNtNtt是参数为1nii的poisson过程。方法二：○1当0h时，11111{()()1}{[()()]1}{(())(1())}[()]()niiinnijijjinniiiiPNthNtPNtsNthohhohhohhoh○2当0h时，111111{()()2}{[()()]2}1{[()()]2}1(1())()1(1())()()niiiniiinnjiijnniiiiPNthNtPNtsNtPNtsNthohhohhohhohoh得证。（3）11{()1|()1}{()1,()0,2,...,}/{()1}iPNtNtPNtNtinPNt1111121/...niiinntttiiinteeet3.4证明poisson过程分解定理：对于参数为的poisson过程{(),0}Ntt，01ip，11riip，1,2,,ir，可分解为r个相互独立的poisson过程，参数分别为ip，1,2,,ir。解：对过程{(),0}Ntt，设每次事件发生时，有r个人对此以概率12,,...,rppp进行记录，且11riip，同时事件的发生与被记录之间相互独立，r个人的行为也相互独立，以()iNt表示为到t时刻第i个人所记录的数目。现在来证明{(),0}iNtt是参数为ip的poisson过程。00{()}{()|()}{()}()(1)()!()!iiinmnmmntmniinmptiPNtmPNtmNtmnPNtmntCppemnptem独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录，一个以概率p，一个以概率1p记录，则1{(),0}Ntt是参数为p的poisson过程，2{(),0}Ntt是参数为(1)p的poisson过程。121121212121212112211121211121212121212{(),()}{(),()}{()}{()|()}()(1)()!()!()(1)()!!!()(1)!!(kkkkktkkkkkktkkkktPNtkNtkPNtkNtkkPNtkkPNtkNtkkteCppkkkkteppkkkkteppkkpt12(1)121122)((1))!!{()}{()}kktptpteekkPNtkPNtk得证。3.5设{(),0}Ntt是参数为3的poisson过程，试求（1）{(1)3}PN；（2）{(1)1,(3)2}PNN；（3）{(1)2|(1)1}PNN解：（1）33303{(1)3}13!kkPNeek（2）{(1)1,(3)2}{(1)1,(3)(1)1}PNNPNNN369{(1)1}{(3)(1)1}3618PNPNNeee（3）33{(1)2}14{(1)2|(1)1}{(1)1}1PNePNNPNe3.6对于poisson过程{(),0}Ntt，证明st时，{()|()}PNskNtn(1)()nkknssktt解：(){(),()}{()|()}{()}{(),()()}{()}{()()}{()}{()}(())()()!!()!()!()!!()nkktssntnkknnkkPNskNtnPNskNtnPNtnPNskNtNsnkPNtnPNtNsnkPNskPNtntsseenkktentssnnkktntssk(1)()nkknkkttnssktt3.7设1{(),0}Ntt和2{(),0}Ntt分别是参数为1，2的Poisson过程，另12()()()XtNtNt，问{()}Xt是否为Poisson过程，为什么？解：不是12()()()XtNtNt，()Xt的一维特征函数为：121212121122(()())()()()()120012001212()()()()()()!!()()!!exp{(iuiuiuNtNtiuNtiuNtiuXtXtkkttiukiukkkiukiukttkktettetiuiufuEeEeEeetteeeekketeteekkeeeeetet)}t参数为的Poisson过程的特征函数的形式为exp{1}iuet，所以()Xt不是poisson过程。3.8计算1T，2T，3T的联合分布解：123123123()3,,123123(,,)()()()xxxXXXXXXfxxxfxfxfxe123110(,,)0111001Jttt1231233,,123,,121321233123(,,)(,,)(,,)00TTTXXXtftttftttttJtttettt其他3.9对0s，计算[()()]ENtNts。解：222222[()()][()(()())][()][()][(()())][()]()ENtNtsENtNtsNtENtENtENtsNtENttstttstt3.10设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已经有无数患者等候，而每个专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每名患者的服务时间是相互独立的指数分布。则8:00到12:00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。解：从门诊部出来的患者可以看作服从参数为3的泊松过程（以小时为单位）。则在[0,]t小时内接受治疗的患者平均停留时间为：()()11[][[]|()]()()2[][]22NtNtiiiiTTEEENtnNtNtntttEEn当ｔ＝４时，平均等待停留时间为２ｈ。３.11